B树和B+树的总结

Posted 2020-09-22

B树

为什么要B树

磁盘中有两个机械运动的部分，分别是盘片旋转和磁臂移动。盘片旋转就是我们市面上所提到的多少转每分钟，而磁盘移动则是在盘片旋转到指定位置以后，移动磁臂后开始进行数据的读写。那么这就存在一个定位到磁盘中的块的过程，而定位是磁盘的存取中花费时间比较大的一块，毕竟机械运动花费的时候要远远大于电子运动的时间。当大规模数据存储到磁盘中的时候，显然定位是一个非常花费时间的过程，但是我们可以通过B树进行优化，提高磁盘读取时定位的效率。

简介

这里的B树，也就是英文中的B-Tree，一个 m 阶的B树满足以下条件：

1. 每个结点至多拥有m棵子树；
2. 除了根结点以外，其余每个分支结点至少拥有 m/2 棵子树；
3. 根结点至少拥有两颗子树（存在子树的情况下）；
4. 所有的叶结点都在同一层上，其可以看作是外部结点，不包含任何信息；
5. 有 k 棵子树的非叶子结点则其存在 k-1 个关键码，关键码按照递增次序进行排列；
6. 关键字数量需要满足ceil(m/2)-1 <= n <= m-1；

举个栗子：

B树上大部分的操作所需要的磁盘存取次数和B树的高度是成正比的，在B树中可以检查多个子结点，由于在一棵树中检查任意一个结点都需要一次磁盘访问，所以B树避免了大量的磁盘访问。

操作

既然是树，那么必不可少的操作就是插入和删除，这也是B树和其它数据结构不同的地方，当然了，还有必不可少的搜索，分享一个对B树的操作进行可视化的网址，它是由usfca提供的。

假定对高度为h的m阶B树进行操作。

插入

新结点一般插在第h层，通过搜索找到对应的结点进行插入，那么根据即将插入的结点的数量又分为下面几种情况。

• 如果该结点的关键字个数没有到达m-1个，那么直接插入即可；
• 如果该结点的关键字个数已经到达了m-1个，那么根据B树的性质显然无法满足，需要将其进行分裂。分裂的规则是该结点分成两半，将中间的关键字进行提升，加入到父亲结点中，但是这又可能存在父亲结点也满员的情况，则不得不向上进行回溯，甚至是要对根结点进行分裂，那么整棵树都加了一层。

其过程如下：

删除

同样的，我们需要先通过搜索找到相应的值，存在则进行删除，需要考虑删除以后的情况，

• 如果该结点拥有关键字数量仍然满足B树性质，则不做任何处理；
• 如果该结点在删除关键字以后不满足B树的性质（关键字没有到达ceil(m/2)-1的数量），则需要向兄弟结点借关键字，这有分为兄弟结点的关键字数量是否足够的情况。
  • 如果兄弟结点的关键字足够借给该结点，则过程为将父亲结点的关键字下移，兄弟结点的关键字上移；
  • 如果兄弟结点的关键字在借出去以后也无法满足情况，即之前兄弟结点的关键字的数量为ceil(m/2)-1，借的一方的关键字数量为ceil(m/2)-2的情况，那么我们可以将该结点合并到兄弟结点中，合并之后的子结点数量少了一个，则需要将父亲结点的关键字下放，如果父亲结点不满足性质，则向上回溯；
• 其余情况参照BST中的删除。

其过程如下：

B+树

为什么要B+树

由于B+树的数据都存储在叶子结点中，分支结点均为索引，方便扫库，只需要扫一遍叶子结点即可，但是B树因为其分支结点同样存储着数据，我们要找到具体的数据，需要进行一次中序遍历按序来扫，所以B+树更加适合在区间查询的情况，所以通常B+树用于数据库索引，而B树则常用于文件索引。

简介

同样的，以一个m阶树为例：

1. 根结点只有一个，分支数量范围为[2，m]；
2. 分支结点，每个结点包含分支数范围为[ceil(m/2), m]；
3. 分支结点的关键字数量等于其子分支的数量；
4. 所有叶子结点都在同一层，其关键字的数量范围为[ceil(m/2), m]，从小到达进行排序；

操作

其操作和B树的操作是类似的，不过需要注意的是，在增加值的时候，如果存在满员的情况，将选择结点中的值作为新的索引，还有在删除值的时候，索引中的关键字并不会删除，也不会存在父亲结点的关键字下沉的情况，因为那只是索引。

B树和B+树的区别

这都是由于B+树和B具有这不同的存储结构所造成的区别，以一个m阶树为例。

1. 关键字的数量不同；B+树中分支结点有m个关键字，其叶子结点也有m个，其关键字只是起到了一个索引的作用，但是B树虽然也有m个子结点，但是其只拥有m-1个关键字。
2. 存储的位置不同；B+树中的数据都存储在叶子结点上，也就是其所有叶子结点的数据组合起来就是完整的数据，但是B树的数据存储在每一个结点中，并不仅仅存储在叶子结点上。
3. 分支结点的构造不同；B+树的分支结点仅仅存储着关键字信息和儿子的指针（这里的指针指的是磁盘块的偏移量），也就是说内部结点仅仅包含着索引信息。
4. 查询不同；B树在找到具体的数值以后，则结束，而B+树则需要通过索引找到叶子结点中的数据才结束，也就是说B+树的搜索过程中走了一条从根结点到叶子结点的路径。