同余最短路

Posted 2020-11-27 zcr-blog

同余最短路其实是一种优化最短路建图的方法。

通常是解决给定m个整数，求这m个整数能拼凑出多少的其他整数(这m个整数可以重复取)或给定m个整数，求这m个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数。

我们通过一道例题来讲解。

P3403 跳楼机

简化一下题意：用a，b，c（这里用a，b，c来代替x，y，z）三个数能组成几个小于h的整数。$h leq 2^{63}-1$

因为h过大所以直接建图显然是不行的，我们要优化空间。

我们因为这个跳的顺序是无关的，所以每个数都可以由若干次b/c再加上若干次a而形成的。

根据带余除法我们知道所有的整数数都可以写成ax+r的形式，其中a是除数，x是商而r是余数。

我们求出通过b/c操作能到达的最小的mod a余数是r的数，然后用一些算法即可求出能到达多少小于h的整数（到时再讲）。

这时我们同余最短路就该排上用场了。这个最小即可表示成最短路。

我们可以让a来做这个除数（其实应该用最小的最优），则r属于$[0,a-1]$。

我们要求出所有到达所有r的最小值。所以对于每个r建立一个点。

它可以通过b，c到其它的数（点），所以我们对于每个点u连一条到v=(u+(b/c))%a的边，长度为(b/c)。

现在从0开始跑最短路即可（初始化dis[0]=0）。

设余数r的最短路为dis[r]，则可以到$frac{h-dis[r]}{a}+1$个整数，统计答案。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long MAXA = 1e5 + 10; 
struct node{
    long long pre, to, val;
}edge[MAXA * 20];
long long head[MAXA], tot;
long long n, h;
long long a[20];
long long dis[MAXA], vis[MAXA];
queue<long long> q;
void add(long long u, long long v, long long l) {
    edge[++tot] = node{head[u], v, l};
    head[u] = tot;
}
void spfa() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[0] = 0;
    vis[0] = 1;
    q.push(0);
    while (!q.empty()) {
        long long x = q.front(); q.pop();
        for (long long i = head[x]; i; i = edge[i].pre) {
            long long y = edge[i].to;
            if (dis[y] > dis[x] + edge[i].val) {
                dis[y] = dis[x] + edge[i].val;
                if (!vis[y]) {
                    vis[y] = 1;
                    q.push(y);
                }
            }
        }
        vis[x] = 0;
    }
}
long long solve(long long x) {
    long long ret = 0;
    for (long long i = 0; i < a[1]; i++) {
        if (dis[i] <= x) {
            ret += (x - dis[i]) / a[1] + 1;
        }
    }
    return ret;
}
int main() {
    n = 3;
    cin >> h;
    for (long long i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (long long i = 0; i < a[1]; i++) {
        for (long long j = 2; j <= n; j++) {
            add(i, (i + a[j]) % a[1], a[j]);
        }
    }
    spfa();
    cout << solve(h - 1);//他刚开始在1楼所以要-1
    return 0;
}

习题：

[国家集训队]墨墨的等式