[HAOI2017] 新型城市化 - 强联通分量,最大流,二分图染色

Posted 2020-11-27 mollnn

给定一个可以划分为不超过两个团的稠密图，以补图的形式描述。求有多少对点满足在它们之间建边后最大团的大小会增加。(n leq 10^4, m leq 1.5 imes 10^5)

Solution

原图的最大团就是补图的最大独立集，由题意补图是二分图，于是转化为求删去哪些边可以使得二分图的最大独立集减少

考虑到最大独立集数=最大匹配数，于是转化为求哪些边一定在最大匹配里

定理 二分图的某条边一定在最大匹配中当且仅当这条边满流，且残量网络中这条边的两个顶点不在同一个 SCC 中

于是我们跑出一个最大匹配，并残量网络并跑 Tarjan，枚举每条匹配边看 SCC 是否相同即可

注意这里用匈牙利会 T，所以要跑最大流

由于数据输入时我们不知道哪个点在哪个部，所以要先二分图染色一下

发现我的强联通板子是假的……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200005;

namespace scc {
    vector <int> g[N],scc[N];
    int ind,f[N],siz[N],dfn[N],low[N],vis[N],s[N],bel[N],top,tot,n,m,d[N];
    char ch[N];
    void make(int p,int q) {
        d[q]++;
        g[p].push_back(q);
    }
    void dfs(int p) {
        s[++top]=p;
        dfn[p]=low[p]=++ind;
        for(int i=0;i<g[p].size();i++) {
            int q=g[p][i];
            if(!dfn[q]) dfs(q), low[p]=min(low[p],low[q]);
            else if(!bel[q]) low[p]=min(low[p],dfn[q]);
        }
        if(dfn[p]==low[p]) {
            ++tot;
            for(int i=0;i!=p;) {
                i=s[top--];
                bel[i]=tot;
                scc[tot].push_back(i);
            }
        }
    }
    void solve(int _n) {
        n=_n;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) dfs(i);
    }
}

namespace flow {
    const int maxn = 500005;
    const int inf = 1e+9;
    int p1[maxn],p2[maxn],p3[maxn];
    int dis[maxn], ans, cnt = 1, s, t, pre[maxn * 10], nxt[maxn * 10], h[maxn], v[maxn * 10];
    queue<int> q;
    void make(int x, int y, int z) {
        pre[++cnt] = y, nxt[cnt] = h[x], h[x] = cnt, v[cnt] = z;
        p1[cnt]=x; p2[cnt]=y; p3[cnt]=z;
        pre[++cnt] = x, nxt[cnt] = h[y], h[y] = cnt;
        p1[cnt]=y; p2[cnt]=x; p3[cnt]=z;
    }
    bool bfs() {
        memset(dis, 0, sizeof dis);
        q.push(s), dis[s] = 1;
        while (!q.empty()) {
            int x = q.front();
            q.pop();
            for (int i = h[x]; i; i = nxt[i])
                if (!dis[pre[i]] && v[i])
                    dis[pre[i]] = dis[x] + 1, q.push(pre[i]);
        }
        return dis[t];
    }
    int dfs(int x, int flow) {
        if (x == t || !flow)
            return flow;
        int f = flow;
        for (int i = h[x]; i; i = nxt[i])
            if (v[i] && dis[pre[i]] > dis[x]) {
                int y = dfs(pre[i], min(v[i], f));
                f -= y, v[i] -= y, v[i ^ 1] += y;
                if (!f)
                    return flow;
            }
        if (f == flow)
            dis[x] = -1;
        return flow - f;
    }
    int solve(int _s,int _t) {
        s=_s;
        t=_t;
        ans = 0;
        for (; bfs(); ans += dfs(s, inf));
        return ans;
    }
}

int n, m, s, t, t1, t2, t3, x[N],y[N];
int id[N];

struct pii {
    int x,y;
    bool operator < (const pii &b) {
        if(x==b.x) return y<b.y;
        else return x<b.x;
    }
};

namespace color {
    vector <int> g[N];
    int c[N];
    void make(int p,int q) {
        g[p].push_back(q);
        g[q].push_back(p);
    }
    void dfs(int p) {
        for(int q:g[p]) if(c[q]==0) {
            c[q]=3-c[p];
            dfs(q);
        }
    }
    void solve() {
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(c[i]==0) {
                c[i]=1;
                dfs(i);
            }
        }
    }
}

int p1[N],p2[N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        cin>>t1>>t2;
        p1[i]=t1;
        p2[i]=t2;
        color::make(t1,t2);
    }
    color::solve();
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        t1=p1[i];
        t2=p2[i];
        if(color::c[p1[i]]==2) swap(t1,t2);
        id[i]=flow::cnt+1;
        x[i]=t1;
        y[i]=t2;
        flow::make(t1,t2,1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(color::c[i]==1) flow::make(n+1,i,1);
        else flow::make(i,n+2,1);
    }
    flow::solve(n+1,n+2);
    for(int i=1;i<=flow::cnt;i++) {
        if(flow::v[i]!=0) scc::make(flow::p1[i],flow::p2[i]);
    }
    scc::solve(n+2);
    vector <pii> vec;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        if(flow::v[id[i]]==0) if(scc::bel[x[i]]!=scc::bel[y[i]])
            vec.push_back({min(x[i],y[i]),max(x[i],y[i])});
    }
    cout<<vec.size()<<endl;
    sort(vec.begin(),vec.end());
    for(int i=0;i<vec.size();i++) cout<<vec[i].x<<" "<<vec[i].y<<endl;
}