43-Kruskal 算法

Posted 2020-11-26 liujiaqi1101

1. Kruskal 算法

• Prim 算法是从 [顶点] 的角度来刻画生成树的，Kruskal 算法则是从 [边] 的角度来进行刻画的
• 基本思想
  • 按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路
• 具体做法
  • 首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

2. 看一眼Kruskal的整个过程

1. 将边 <E,F> 加入 R 中：边 <E,F> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中
2. 将边 <C,D>加入 R 中：上一步操作之后，边 <C,D> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中
3. 将边 <D,E> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <D,E> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中
4. 将边 <B,F> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <C,E> 的权值最小，但 <C,E> 会和已有的边构成回路；因此，跳过边 <C,E>。同理，跳过边 <C,F>。将边 <B,F> 加入到最小生成树结果 R 中
5. 将边 <E,G> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <E,G> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中
6. 将边 <A,B> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <F,G> 的权值最小，但 <F,G> 会和已有的边构成回路；因此，跳过边 <F,G>。同理，跳过边 <B,C>。将边 <A,B> 加入到最小生成树结果 R 中

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>

3. 俩问题

a. 按权值给边排序

• 采用排序算法，我这里就无脑bubble了
• 还得给 ‘边‘ 整个数据结构(EdgeData)
  • ‘边‘ 这头的顶点 - v1
  • ‘边‘ 另一头的顶点 - v2
  • ‘边‘ 的权值 - weight

b. 判断是否构成回路

• 树的双亲表示法
  

• 大概说下什么是 [并查集]
  

• 上面和判断构成回路有啥关系？
  • 交并集 是 一个用 双亲表示法 所表示的 森林
  • 可以利用这个结构来查找某一个顶点的双亲，进而找到根结点。这样，我们就能判断某两个顶点是否同源，在图中的表现就是加上这条边后会不会构成回路
  • {并查集} 以 顶点 为基准，有几个顶点，就有几项
  • 这里适用与顶点编号连续的情况；这样在 {并查集} 中，数组的下标就对应顶点的编号，数组的值就是这个顶点所在的双亲。这就是树的双亲表示法。高效率地利用数组下标
  • 【BTW】下面提到的 "根" 和 "终点" 是一码事

4. 算法步骤

1. 将 边(EdgeData)构成的数组 按照权值，从小到大排序
2. 对 { 并查集ends[] } 进行初始化，即把每一个位置中的值初始化为其对应下标
3. 选取 EdgeData[] 的第1项，查询该边所对应的顶点在 ends 中是否同源，同源则进行5，不同源则进行4
4. 若不同源，则把该边加入生成树，并修改 ends[v1的根] = v2的根
5. 若同源，则跳过，继续遍历EdgeData[]
6. 重复4~5，直到存储结构中所有的项被遍历

5. 代码实现

public class KruskalCase {
    private int edgeNum;
    private char[] vertexs;
    private int[][] weightEdges;
    private EdgeData[] MST;
    // 使用 INF 表示 两个顶点不能连通
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    
    public static void main(String[] args) {
        char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        // 0 表示自连; * 表示连通; INF 表示不连通
        int weightEdges[][] = {
                        /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                /*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
                /*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
                /*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
                /*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
                /*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
                /*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
                /*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}
        }; 
        KruskalCase kc = new KruskalCase(vertexs, weightEdges);
        kc.printMatrix();
        kc.kruskal();
        kc.printMST();
    }

    // 构造器 (copy)
    public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] weightEdges) {
        // 初始化 顶点
        int vLen = vertexs.length;
        this.vertexs = new char[vLen];
        // 初始化 MST
        MST = new EdgeData[vLen-1];
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
            this.vertexs[i] = vertexs[i];
        // 初始化 matrix
        this.weightEdges = new int[vLen][vLen];
        for(int i = 0; i < vLen; i++)
            for(int j = 0; j < vLen; j++)
                this.weightEdges[i][j] = weightEdges[i][j];
        // 统计 edge 数目
        for(int i = 0; i < vLen; i++)
            for(int j = i + 1; j < vLen; j++)
                if(weightEdges[i][j] != INF)
                    edgeNum ++;
    }
    
    public void kruskal() {
        // 表示最后结果数组的索引
        int index = 0; 
        // 用于保存 <已有~最小生成树> 中每个顶点在MST的双亲
        int[] ends = new int[edgeNum];
        for(int i = 0; i < ends.length; i++)
            ends[i] = i;
        // 获取 图 中所有的边的集合
        EdgeData[] edges = getEdges();
        sortEdges(edges);
        // 将 edge 添加到 MST
        for(int i = 0; i < edgeNum; i++) {
            // a. 获取 edge-i 的一头
            int v1 = getPosition(edges[i].start);
            // b. 获取 edge-i 的另一头
            int v2 = getPosition(edges[i].end);
            // c. 获取 v1 在 <已有~最小生成树> 中的终点
            int m = getEnd(ends, v1);
            // d. 获取 v2 在 <已有~最小生成树> 中的终点
            int n = getEnd(ends, v2);
            // e. 判断准备加入的 edge 是否构成 回路
            if(m != n) { // 不构成回路
                ends[m] = n; // 将 v1 在 <已有~最小生成树> 中的终点 更新为 v2 的终点
                MST[index++] = edges[i];
            }
            // 边数够了就没必要再继续下去了, 反正之后的边也肯定会构成回路
            if(index == MST.length) break;
        }
    }

    public void printMST() {
        System.out.println("最小生成树: ");
        for(int i = 0; i < MST.length; i++)
            System.out.println(MST[i]);
    }
    
    public void printMatrix() {
        System.out.println("matrix: ");
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
            for(int j = 0; j < vertexs.length; j++)
                System.out.printf("%12d	", weightEdges[i][j]);
            System.out.println();
        }
    }
    
    /**
     * 根据 顶点v的数据值 找到其对应的索引
     * @param v 顶点的数据值
     * @return 找不到返回 -1
     */
    private int getPosition(char v) {
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
            if(vertexs[i] == v)
                return i;
        return -1;
    }
    
    private void sortEdges(EdgeData[] edges) {
        EdgeData temp;
        for(int i = 0; i < edgeNum - 1; i++)
            for(int j = 0; j < edgeNum - 1 - i; j++)
                if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {
                    temp = edges[j];
                    edges[j] = edges[j+1];
                    edges[j+1] = temp;
                }
    }
    
    private EdgeData[] getEdges() {
        EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];
        int index = 0;
        for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
            // 关于主对角线对称
            for(int j = i + 1; j < vertexs.length; j++)
                if(weightEdges[i][j] != INF)
                    edges[index++] = new EdgeData(vertexs[i], vertexs[j], weightEdges[i][j]);
        return edges;
    }
    
    /**
     * 获取索引为 i 的顶点的终点(是终点!!!不是双亲!!!)
     * @param i
     * @param ends 记录了各个顶点对应的双亲!(该数组是逐步形成的)
     * @return 索引为i的顶点 对应的 终点的索引
     */
    private int getEnd(int[] ends, int i) {
        // 如果ends[v] = v, 则它就是根; 否则就让v = ends[v], 向上寻找, 直到其相等
        while(ends[i] != i)
            i = ends[i];
        return i;
    }
    
}

class EdgeData {
    // 边的两头上的点
    char start;
    char end;
    // 边的权重
    int weight;
    
    public EdgeData(char start, char end, int weight) {
        super();
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "[" + start + ", " + weight + ", " + end + "]";
    }
}

6. review

a. 判断构成回路

b. 如果不构成回路，ends[m] = n