Humble Numbers(丑数) 超详解！

Posted 2020-09-21

给定一个素数集合 S = { p[1],p[2],...,p[k] }，大于 1 且素因子都属于 S 的数我们成为丑数（Humble Numbers or Ugly Numbers），记第 n 大的丑数为 h[n]。

算法 １：

　　一种最容易想到的方法当然就是从 2 开始一个一个的判断一个数是否为丑数。这种方法的复杂度约为 O( k * h[n])，铁定超时（如果你这样做而没有超时，请跟 tenshi 联系）　　

算法 ２：

　　看来只有一个一个地主动生成丑数了　：

　　我最早做这题的时候，用的是一种比较烂的生成方法，复杂度为 O( k * n * log(n) )。

　　算法流程如下：

1.初始化最小堆，内置一个元素 1

2.i=0 ，表示求第 i 个丑数（默认 h[0]=1）

3.if i>n then goto 7

4.取出堆中最小的元素 x（如果有多个最小元素，全部取出来）， h[i]:= x，i:=i+1

5.把 x*p[1] , x*p[2] ... ,x*p[n] 放入堆中

6.goto 3

7.结束

　　这个算法要使用一个最小堆（Heap）的数据结构，。不会超时。

　　

算法 ３：

　　算法２虽然速度还可以，但是算法复杂度还是有点高。这里介绍一下 UsacoGate 提供的标准程序的算法。首先我们知道这样的东西：如果前 m-1 个丑数已经求出来了（包含 0），那么第 m 个数肯定是由前面某个丑数乘 S 里的素数得来的。假设是 h[pindex[i]] 乘 p[i] 而得到 h[m] 的话，把每次乘 p[i] 的 pindex[i]　列出来，肯定是单调的！利用这个，我们可以得到这样的算法：

1.nhum=0 ，表示求第 nhum 个丑数（默认 h[0]=1）

2.令 pindex[i]=0 ，表示一开始无论怎么乘，都是乘 h[0]

3.if (nhum > n ) then goto 7

4.分别求出 h[pindex[i]]*p[i]的值，找出比 h[nhum-1] 大的最小值

5.把这个最小值 h[pindex[minp]]*p[minp] 存入 h[nhum]

6.nhum:=nhum+1;

7.结束

　　这个算法复杂度显然为 O( n * k )，已经相当不错了

以上是某个博客的做题心得吧！我把他引用过来仅仅为了介绍丑数的概念

我就以一道例题介绍丑数吧！

description

只有质数2,3,5,7这几个作为因子的数叫做,丑数,比如前20个丑数是(从小到大来说) 1,2,3,4,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,24,25和27.

input

我们给你个n（1<=m<=5842）当输入n为0结束。

output

输出第n个丑数。每个数一行。

sample_input

1 2 3 4 11

sample_output

1 2 3 4 12 关于丑数的含义在题目中已有解释，有的题目中忽略了“7”这个质因子，其实这都不是最重要的重要的是掌握其处理的方法。 首先，判断一个数是否为丑数的方法如下： 1 int find_uglynum(int a) 2 { 3 while(a%2==0)//将这个数中的质因子 2 耗尽 4 a/=2; 5 while(a%3==0) 6 a/=3; 7 while(a%5==0) 8 a/=5; 9 while(a/7==0) 10 a/=7; 11 if(a==1) 12 return 1; 13 else 14 return 0; 15 } 但是这种方法过于费时，下面给出该题解题思路： 首先，第一个丑数为“1”，后面的每一个丑数都是由前一个丑数乘2、3、5或7而来，那么后一个丑数就是前一个乘这四个数得到的最小值，for example：第一个：1，第二个：1*2、1*3、1*5或1*7，显然为2，第三个：2*2,1*3,1*5或1*7，显然是3，第四个：2*2,,2*3,1*5,1*7为4，第五个：3*2,2*3,1*5,1*7…… 聪明的你是否看明白了呢？ 下面给出本题的代码： 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 using namespace std; 4 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) 5 #define min4(a,b,c,d) min(min(a,b),min(c,d)) 6 int a[5850]; 7 int main() 8 { 9 //freopen("data.in","r",stdin); 10 //freopen("data.out","w",stdout); 11 12 int n=1; 13 14 int p2,p3,p5,p7; 15 p2=p3=p5=p7=1; 16 a[1]=1; 17 while(n<5843)//枚举5842个丑数，放在数组a里。 18 { 19 a[++n]=min4(2*a[p2],3*a[p3],5*a[p5],7*a[p7]);//从现在枚举的4个丑数里，先选择小的放在a里。 20 if(a[n]==2*a[p2])p2++;//如果a[n]==2*a[p2],2*a[p2]可能是吧a[n]枚举出的数，这样p2++,也可能是重复的枚举，这样也是p2++,总之p2++。 21 if(a[n]==3*a[p3])p3++;//同理。 22 if(a[n]==5*a[p5])p5++;//同理。 23 if(a[n]==7*a[p7])p7++;//同理。 24 } 25 while(scanf("%d",&n)&&n) 26 { 27 printf("%d\n",a[n]);//要谁找谁。 28 } 29 return 0; 30 }