[SCOI2010]生成字符串（组合计数）

Posted 2020-11-26 hsez-cyx

[SCOI2010]生成字符串（luogu）

Description

题目描述

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，

但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。

现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入格式

输入数据是一行，包括2个数字n和m

输出格式

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，

只需输出这个数除以20100403的余数

Solution

建立平面直角坐标系，设起始点（空串）坐标为（0,0），

在末尾增加一个 1 为横坐标 +1，纵坐标+1

在末尾增加一个 1 为横坐标 +1，纵坐标-1

则终止点为（n+m,n-m）

到达终止点的方案数（不考虑前缀中1个数的限制）=$C^m_{n+m}$

借用大佬的图

发现当经过 y=-1 这条直线时不满足题目限制

(0,0)到 y=-1 上某点的方案数等于 (0,-2)到 y=-1 上这个点的方案数

于是不满足限制条件的方案数为 (0,-2)到终止点的方案数=$C^{m-1}_{n+m}$

答案为$C^m_{n+m}-C^{m-1}_{n+m}$

 

Code

 

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e6+10;
const ll P=20100403;
ll d[N],ans;
int n,m;
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll an=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=ans*x%P;
        x=x*x%P,y>>=1;
    }
    return an;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);

    d[0]=1;
    for(ll i=1;i<=n+m;i++)
        d[i]=d[i-1]*i%P;
    ans=(n+1-m)*d[n+m]%P;
    ans=ans*qpow(d[n+1],P-2)%P;
    ans=ans*qpow(d[m],P-2)%P;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}