模板 - 数学 - 数论 - 线性筛

Posted 2020-11-26 kisekipurin2019

线性筛质数，可以通过输出ptop之后调整p数组的大小。pm[i]表示i的最小质因子，pk[i]表示含有i的最小质因子的幂。其他的积性函数主要依靠pk的值来求解，比如现在枚举的是t，求出了他的最小质因子的幂pk[t]，那么t/pk[t]与pk[t]显然是互质的。当t==pk[t]时，则t是p[j]的幂次，一般积性函数在质数的幂次都要特殊求解，不过欧拉函数和莫比乌斯函数可以直接从低一级的幂次转移过来。当t!=pk[t]时，直接分解成两个互质的数的乘积。要注意这个算法的空间消耗巨大。

1ex内的质数数量：

1e1|4
1e2|25
1e3|168
1e4|1229
1e5|9592
1e6|78498
1e7|664579
1e8|5761455

其他常见的上界：

2e5|17984
2e6|148933
2e7|1270607

5e5|41538
5e6|348513
5e7|3001134

第一个严格大于上界的最小质数连乘：
2*3*5 = 30 > 10 = 1e1
2*3*5*7 = 210 > 100 = 1e2
2*3*5*7*11 = 2310 > 1000 = 1e3
2*3*5*7*11*13 = 30030 > 10000 = 1e4
2*3*5*7*11*13*17 = 510510 > 100000 = 1e5
2*3*5*7*11*13*17*19 = 9699690 > 1000000 = 1e6
2*3*5*7*11*13*17*19*23 = 223092870 > 10000000 = 1e7

注意这个是严格大于，假如保证在上界以内的话事实上是少一个的。

const int MAXN = 1e7;
int p[MAXN + 5], ptop;
int pm[MAXN + 5], pk[MAXN + 5];

void sieve() {
    int n = MAXN;
    pm[1] = 1;
    pk[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(!pm[i]) {
            p[++ptop] = i;
            pm[i] = i;
            pk[i] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= ptop; j++) {
            int t = i * p[j];
            if(t > n)
                break;
            pm[t] = p[j];
            if(i % p[j]) {
                pk[t] = pk[p[j]];
            } else {
                pk[t] = pk[i] * p[j];
                break;
            }
        }
        //printf("i=%d pm=%d pk=%d
", i, pm[i], pk[i]);
    }
    //printf("ptop=%d
",ptop);
    /*for(int i=1;i<=ptop;++i)
        printf("%d:%d
",i,p[i]);*/
}

判断一个数是不是质数只需要判断pm[i]==i。判断一个数是不是质数的幂只需要判断pk[i]==i。当然1是奇异的，特殊处理就可以了。

很多时候只是需要质数，那么这样写比较省空间，也比较快。

const int MAXN = 1e7;
int p[MAXN + 5], ptop;
bool pn[MAXN + 5];

void sieve() {
    int n = MAXN;
    pn[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(!pn[i])
            p[++ptop] = i;
        for(int j = 1; j <= ptop; j++) {
            int t = i * p[j];
            if(t > n)
                break;
            pn[t] = 1;
            if(i % p[j] == 0)
                break;
        }
    }
    printf("ptop=%d
", ptop);
    /*for(int i = 1; i <= ptop; ++i)
        printf("%d:%d
", i, p[i]);*/
}