省选模拟2

Posted 2020-11-26 hzoi-cbx

A.铁轨建设

　　考场上打了插头$DP$，妄想不A也有七八十分，然而数据把插头$dp$卡的很死，所以就只剩45了。

　　正解网络流，类似无限之环，将每个点拆成四个方向，只要建图保证关键点建直路费用为1,其他费用为0即可，然后跑费用流就可以得到答案。

B.圈地游戏

　　考场以为是网络流，然后伪了。

　　正解是最短路树？没看懂。

C.组合数学

　　题解上来一个题意转化就看蒙了：

　　共有n种球，每种球有$a_{i}$个，按照顺序标号，那么枚举n的排列，要求对于每种球，1号球必须在同种球的最前面，1号球的排列与枚举的排列相同。

　　这样我们可以拟合出前缀和的效果，然而和题目中给的式子还是有所不同，多除掉了一项前缀和。

　　那么可以继续转化：如果不要求最后一种球的1号球在同种球的最前面，那么排列的方案数就是题中所给的式子。

　　考虑枚举最后一种球是哪种，设这种球第一次出现的位置是$pos$，这种球为$last$

　　那么设$f_{i}$表示至少i种球放到了$last$后面，这个东西二项式反演就可以得到合法方案数了。

　　有：

　　$f_{i}=frac{(t+a_{last}-1!}{Pi b}*inom{m-pos}{t+a_{last}-1}*frac{(m-t-a_{last})!}{Pi c}$

　　其中$b$表示放在$last$后面的球的集合，$c$表示放在前面的球的集合。

　　发现这个东西只和两部分球的个数有关，打个背包就完了。