数学@2019

Posted 2020-11-26

年初，证明了<strong>指标定理</strong>，为数学和物理学作出杰出贡献的数学家<strong>迈克尔·阿蒂亚爵士</strong>与世长辞，享年 89 岁；3 月，数学领域的最高奖项之一——阿贝尔奖——授予了数学家<strong>凯伦·乌伦贝克</strong>，以表彰她在“几何偏微分方程、规范理论和可积系统的开创性贡献，以及她在分析、几何和数学物理领域的工作上的深远影响 ”，她也成为了首位获此殊荣的女性数学家。
　　数学的世界从来不乏这些伟大的头脑，更多年轻的数学家在前人的智慧成果之上，砥砺前行。2019 年即将结束，回望这一年，有些最基础的数学概念、数学方法被重新审视，有些最难的谜题因某些证明或新技术的出现而取得重大进展，还有一些已经存在很久的问题得到了彻底解决......
　　1
　　<strong>无理数</strong>是无法被写成分数的没有尽头的数。当我们需要用到一个无理数时，通常会四舍五入地取到它的某一位。比如π被近似为 3.14，也就是 157/50，但 22/7 实则是更贴近π的值。一系列有关于无理数的问题一直困扰着数学家，那就是：无理数究竟能被近似到多精确？是否存在一个精确性的极限？
　　对这些问题的探讨可以追溯到 19 世纪初，至今一直没有明确答案。1941 年，物理学家<strong>Richard Duffin</strong>和数学家<strong>Albert Schaeffer</strong>试图用一个简单的猜想来回答这些问题。他们提出在对无理数进行近似时，要先有一个无限长的序列作为分母，然后再确定要以怎样的精确度（误差大小）来近似一个无理数。那么在这种情况下，是否就能基于已经有的分母序列和已经设定好的误差大小，找到无限多个分数来近似所有无理数吗？
　　Duffin 和 Schaeffer 认为，答案是要么所选的分母列表能以需要的精确度对所有无理数实现近似，要么一个也不能近似。虽然大多数学家都认可 Duffin 和 Schaeffer 的猜想，却没人可以证明。终于，在 2019 年夏，数学家<strong>James Maynard</strong>与<strong>Dimitris Koukoulopoulos</strong>利用一堆点的图形，通过将问题转化为一个无穷序列究竟是发散还是收敛的问题，解决了这个近 80 年的谜题，取得了数学上最难的一项成就之一。目前，其他数学家还在研习和检查 Maynard 和 Koukoulopoulos 提交的那份长达 44 页的证明。
　　2
　　<strong>敏感度猜想</strong>是<strong>组合学</strong>和<strong>理论计算机</strong>中最令人困惑的问题之一。这个猜想与<strong>布尔函数</strong>有关，布尔函数是一系列将一串输入位（0、1）转换成一个单一输出位的规则。“敏感度”是一种用来描述布尔函数复杂性的度量，它描述的是当一串输入位中的单一一个输入位被改变时，会导致输出位发生改变的可能性。在所有描述复杂性的度量中，几乎所有其他度量都可被用来衡量其他度量的值，似乎只有敏感度是一个例外。有数学家在 1992 年提出猜想，认为敏感度并不是一个例外。但近 30 年来，没有人能真正证明这一猜想。
　　今年，数学家<strong>黄皓</strong>将问题转化成立方体上的点的组合学，仅用两张纸的篇幅，巧妙的完成了论证。
　　3
　　一个已经存在了半个世纪之久的谜题，在今年被数学家<strong>Asger Dag Törnquist</strong>解开。这个谜题与<strong>拉姆齐定理</strong>有关。拉姆齐定律说的是，在一个有 6 个人的聚会上，至少有 3 个人相互认识或相互不认识。1969 年，英国数学家<strong>Adrian R.D. Mathias</strong>开始思考，拉姆齐定律是否存在一个无穷大版本，由此产生了这个集合论领域中涉及到无穷大的理论难题。
　　这个抽象的问题可以用一种假想的彩票来解释：有这样一张彩票，它的上面有无穷行数字，每行都有无穷多个数字，而且每一行不能与其他某一行拥有无穷多个相同的数字。开奖方式是抽取无穷多个数字，如果彩票上的某一行的数字与抽取的数字有无穷多个相同，那么这张彩票就中奖了。那么问题来了：这张彩票是否每次都能中奖？
　　Mathias 发现这个问题与被称为“<strong>MAD 族</strong>”的数学概念有关，一个 MAD 族就像是一张总能以某种独特而又无限的方式中奖的彩票，但却他无法证明这种关联的存在。直到今年，Törnquist 与合作者提交了一篇论证，证实了如果彩票号码中没有特定的模式和规律，就不会组装出这样一张彩票，因而完整证明了不存在这样一张永远能中奖的特殊彩票。
　　4
　　在数论领域，有这么一个看似容易却难如登天的问题，那就是“是否每一个整数都可以表示为三个整数的立方和？即是否存在整数k、x、y、z，使得对于所有的k，它们都满足丢番图方程 k = x³ + y³ + z³。对有的k值来说，它的解可以很容易被找到；但对有的k来说却异常困难。首先要确定它是否真的存在这样一组解；接着即便有的解真的存在，似乎也很难被计算出来。
　　今年，在 100 以内但还没有被求出解的最后两个整数——33 和 42——被先后求解。3 月，英国数学家<strong>Andrew Booker</strong>利用超级计算机解得 
　　33 = 8866128975287528³ + (−8778405442862239)³ + (−2736111468807040)³。
　　9 月，Booker 与 MIT 的数学家<strong>Andrew Sutherland</strong>通过一个慈善引擎找到了属于 42 的解：
　　42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³ 
　　5
　　位列千禧年大奖的七大难题之一的<strong>黎曼假设</strong>是数学中最令人费解的问题之一。这个与<strong>质数</strong>有关的假设已经困扰人们长达 160 年之久。黎曼注意到质数的分布与<strong>黎曼ζ函数</strong>中函数值为 0 的点密切相关。他推测如果对黎曼ζ函数进行绘图，会看到函数中一些特定的 0 点都落在一条特定的直线上。
　　今年，几位数学家通过使用一种陈旧的方法——<strong>Jensen 多项式</strong>——为证明黎曼假设带来了新的进展。Jensen 多项式是种<strong>复函数</strong>，数学家将问题转化为，如果可以证明让 Jensen 多项式为 0 的值都是实数，那么黎曼假设为真。在新的工作中，数学家证明了许多 Jensen 多项式的确有实根，这满足了证明黎曼假设所需的大部分条件。从一定程度上看，新的结果进一步支持了大多数学家所认为的黎曼假设是正确的这一观点，为黎曼假设的正确性提供了新的证据。
　　6
　　已经困扰了数学家近 60 年之久的<strong>向日葵猜想</strong>在今年迎来了新的进展。1960 年，数学家<strong>Paul Erd?s</strong>和<strong>Richard Rado</strong>提出向日葵猜想，它与<strong>集合</strong>有关，比如在平面x-y 上，每个集合包含固定数量的点，然后随机画环，让每个环中含有这一数量的点，环与环可以重叠。当绘制了许多环时，多数环会重叠并纠缠在一起。向日葵猜想说的是，在这样的情况下，有一个微妙的结构总是会出现：三个或更多的集合会在完全相同的点的子集上重叠，而且它们之中没有一个会与其他的任何集合重叠。如果将这些共有的点的子集删除，那么这三个集合就会围绕着一个空隙排列，彼此之间完全分离，就像向日葵的花瓣围绕着中心的黑色部分那样。
　　今年，四名由数学家和计算机科学家组成的团队将布尔函数的知识运用到了向日葵问题上，将问题分解成了两种不同的场景：一个是考虑当集合存在大量重叠时会发生什么，另一个是分析当集合没有太多重叠时会发生什么。最终证明了(log w)?个集合就足以产生向日葵，比 Erd?s和 Rado 的结果w?精进了一个数量级。
　　7
　　<strong>欧拉方程</strong>是描述了流体随时间演化的方程组。更确切地说，欧拉方程描述的是流体中无穷小的粒子的瞬时运动，这包括一个粒子的<strong>速度</strong>和它的<strong>涡量</strong>。欧拉方程包含几个非物理性的假设，例如它们假设当流体的内流在流过彼此时不会产生摩擦，以及它们还假设流体是不可压缩的。
　　多年来，很多数学家一直怀疑欧拉方程在某些特定的情况下会失效，但没有人能给出确切的证明。
　　今年，数学家<strong>Tarek Elgindi</strong>用一个新的证明找到了能让欧拉方程失效的特定条件。在他的证明里，他在一定程度上简化了欧拉方程需要处理的工作，找到了欧拉方程的”奇点“，证明了在欧拉方程中，当流体中的两个环相向运动时，在相撞的点上能得出无穷大的涡流结果，从而导致欧拉方程在这一点上失效。
　　8
　　<strong>孪生素数</strong>是指那些相差为 2 的素数对，比如 3 和5、5 和7、11 和 13……除了 3 和 5 之外，每个孪生素数对中的第一个素数总是比 6 的倍数小1，因而第二个孪生素数总是比 6 的倍数大1。1849 年，法国数学家<strong>波林那克</strong>提出孪生素数猜想，它说的是在自然数集中，这样的孪生素数对有无穷多个。但这个猜想至今无人能证明。
　　这个猜想的主要进展集中在最近 10 年。2013 年，数学家<strong>张益唐</strong>完美地证明了差值为 7000 万的素数有无穷多个；在过去的 6 年里，包括<strong>陶哲轩</strong>在内的数学家一直在将这个素数差值缩小，目前的最好结果是 246。
　　今年 9 月，数学家<strong>Will Sawin</strong>和<strong>Mark Shusterman</strong>提供了一个证明孪生素数猜想的新方法。他们在有限数系统的设定下讨论孪生素数问题，利用有限域的性质将问题用几何方式进行探讨，将孪生素数猜想与素多项式联系了起来。利用这种方法，他们证明了孪生素数猜想在有限域中是正确的，即相差任意间隔的孪生素多项式有无穷多对。
　　9
　　今年 9 月，数学家<strong>陶哲轩</strong>向<strong>考拉兹猜想</strong>发起挑战，为这个已存在了 82 年的猜想带来了进展。考拉兹猜想的核心就是图中的函数f(n)，n为任意自然数，规则是当n为偶数时，函数值为n的一半；当n为奇数时，函数值比n的三倍多1。取任意自然数，一遍又一遍地在f(n)中迭代，最终会得到1。
　　考拉兹猜想说的就是，以任何自然数开始代入这个方程，都会以 1 结尾。目前，数学家已经验证了 10²?以内的数字，但还没有从数学的角度上真正证明这一猜想对所有的自然数都成立。
　　这次，陶哲轩让考拉兹猜想几乎得到了解决，与这个“几乎”对应的专业术语是<strong>对数密度</strong>，它描述了如果真的存在考拉兹猜想的反例的话，反例的罕见程度会是多少。陶哲轩证明了这样的反例有可能存在，但当数字越大，这样的反例的出现频率就会越趋近于0。
　　陶哲轩表示，虽然新的结果表明考拉兹猜想的反例极其罕见，但它仍有别于“完全不存在”。要真正完全解开这个谜题，还有很长一段路要走。
　　10
　　乘法已经有数千年的历史了，然而，这个几乎人人都会的数学算法其实一直是数学中的一个活跃的研究领域。对极大的数字来说，现有的乘法算法并不高效。因而精进乘法算法对于提升计算速度来说有着至关重要的意义。
　　传统的乘法算法在计算n位数乘以n位数的运算时一般需要n²步。1962 年，数学家<strong>Anatoly Karatsuba</strong>找到了能将n位数的数字相乘的运算量缩减到n¹·??。到了 1971 年，德国数学家<strong>Arnold Schonhage</strong>和<strong>Volker Strassen</strong>进一步将运算量减少到n×log (n)×log (log (n))步，并推测出对n位数数字的相乘来说，极限步数应该是n×log (n)。
　　近几十年来，数学家们一直在逼近这一极限，直到今年 3 月，数学家<strong>David Harvey</strong>和<strong>Joris van der Hoeven</strong>终于抵达了这一极限。
　　除了提到的这些例子之外，还有其他一些数学领域也取得了进展。比如数学家用几十年的时间，试图用更灵活的“等价”概念来替换我们一直使用的“等号”。再比如在今年 8 月，陶哲轩和三位物理学家一起，用一个简单的新公式将矩阵中的特征值和特征向量以一种全新的方式联系了起来 ，在产生了新的数学见解的同时，还使得对中微子的研究变得更加简单……
　　在纯数学家的眼中，数学是优雅、美好的艺术，他们并不习惯于常去考虑他们所做的一切是否会有何实际用途。但千百年来，无论是科学技术，还是人类的思考方式，都在数学的影响下悄然改变。在新时代到来之际，我们期待在下一个十年，数学会给我们带来更多惊喜。