题解[USACO19DEC]Tree Depth

Posted 2020-11-25 ztc03

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这明摆着是一道计数题，计数题能用些啥？dp?我不会拦你的。多项式？生成函数？没错，这道题就是生成函数。

不能难发现，深度=祖先数+1，而(i)是(j)的祖先，当且仅当对任意在(i)和(j)之间的整数(k)，均满足(a_i<a_k)。

设(f_{|i-j|,k})表示(i)是(j)的祖先时，逆序对数为(k)的方案数，则其生成函数

[ LARGE F_{|i-j|}(x)=egin{cases}prod_{t=0,t eq j-i}^{n-1}sum_{p=0}^tx^p(i<j)\x^{i-j}prod_{t=0,t eq i-j}^{n-1}sum_{p=0}^tx^p(i>j)end{cases} ]
方法：考虑先往序列里面插入所有下标在(i)到(j)之间的数（不含(i)），共(|i-j|)个数，再插入(a_i)，再插入剩下的数。

然后，
[ LARGE F_{|i-j|}(x)=egin{cases}frac{prod_{t=1}^nfrac{1-x^t}{1-x}}{frac{1-x^{j-i}}{1-x}}(i<j)\x^{i-j}frac{prod_{t=1}^nfrac{1-x^t}{1-x}}{frac{1-x^{i-j}}{1-x}}(i>j)end{cases} ]
先求出(prod_{t=2}^nfrac{1-x^t}{1-x})，再乘或除(1-x^p)就可以得到(F_p(x))，取第(k)项和第(k-p)项系数。

注意：用( ext{FFT})会(color{red}{ ext{TLE}})，可以暴力乘或除。