CF998B Cutting 题解 DP+贪心

Posted 2020-11-24 quanjun

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/998/B

题目描述

有很多东西是可以被切割的，比如——树、纸张或者绳子。在这道题目里面你需要切割一个整数序列。
现在告诉你一个整数序列，在这个整数序列里面有一些数，它们可能是奇数，也可能是偶数。
给你一个固定的预算（因为切割是有成本的），你需要尽可能多地将这个整数序列切分成一系列连续子序列，
使得每一个连续子序列中的 奇数元素的个数 和 偶数元素的个数 相同。
比如，给你一个整数序列 [4,1,2,3,4,5,4,4,5,5] ，你可以将其切割两次变成
[4,1 | 2,3,4,5 | 4,4,5,5] 。其中，[4,1] 、 [2,3,4,5] 以及 [4,4,5,5] 这三个连续子序列中包含的奇数个数等于偶数个数。
如果你要将第 i 个元素和第 i+1 个元素之间切一刀，我们假设第 i 个元素对应的数值为 x ，第 j 个元素对应的数值为 y ，那么你需要消耗 |x-y| 个比特币。
（|x-y| 表示 x-y 的差的绝对值）。
而你的预算只有 B 个比特币，所以你需要计算一下在最多消耗 B 个比特币的情况下，你最多可以切几次。

输入格式

输入的第一行包含两个整数 n （2<=n<=100）和 B（1<=B<=100），分别表示整数序列中元素的个数和你最多可用的比特币的数量。
输入的第二行包含 n 个整数，用于表示整数序列中的元素：a1,a2,……,an（1<=ai<=100）。

输出格式

输出一个整数，用于表示在最多消耗 B 个比特币的情况下，你最多可以切几刀，使得每一个切出来的连续子序列中包含相同的奇偶元素。

样例输入1

6 4
1 2 5 10 15 20

样例输出1

1

样例输入2

4 10
1 3 2 4

样例输出2

0

样例输入3

6 100
1 2 3 4 5 6

样例输出3

2

样例解释

对于样例1，我们可以在 2 和 5 之间切割一刀，消耗 3 个比特币；
对于样例2，我们无法切割；
对于样例3，我们可以在 2 和 3 之间 以及 4 和 5 之间切割一刀，消耗 1+1=2 个比特币。

问题分析

这道题目涉及的算法是“DP”+“贪心”，可以用 dp+sort 或者 dp+heap 来做。
首先我们假设 n 个元素的坐标从 1 到 n ，他们分别对应 a[1] 到 a[n] 。
然后我们开一个输出 cc[] ，cc[i] 用于表示从 a[1] 到 a[i] 这 i 个数中奇数个数减去偶数个数之差。
那么对于 1 到 n-1 范围内的 i ，如果 cc[i] == 0 ，那么它这个位置就是可以切割的，切割的成本是 abs(a[i+1]-a[i]) 。

dp+sort解法：

我们将 1 到 n-1 范围内的所有满足 cc[i]==0 条件的 i 对应的 abs(a[i+1]-a[i]) 放入一个数组中，然后将这个数组从小到大排序，每次取出一个数计数器cnt++，同时B减去这个数，直到B不够用为止；

dp+heap（堆）解法：

我们首先构造一个最小堆（可以用 priority_queue 模拟），然后将 1 到 n-1 范围内的所有满足 cc[i]==0 条件的 i 对应的 abs(a[i+1]-a[i]) 放入最小堆中1，然后每次从最小堆中取出堆顶元素，计数器cnt++，同时B减去这个数，直到B不够用为止。

1、下面的代码演示了 dp+sort 的操作：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 110;

int n, B, cnt, a[maxn], cc[maxn];
vector<int> vec;

int main() {
    cin >> n >> B;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        cc[i] = cc[i-1] + (a[i] % 2 ? 1 : -1);
    }
    for (int i = 1; i < n; i ++) if (!cc[i]) vec.push_back(abs(a[i+1]-a[i]));
    sort(vec.begin(), vec.end());
    for (vector<int>::iterator it = vec.begin(); it != vec.end(); it ++) {
        if (*it > B) break;
        B -= *it;
        cnt ++;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

2、下面的代码演示了 dp+heap 的操作：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 110;

int n, B, cnt, a[maxn], cc[maxn];
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > que;

int main() {
    cin >> n >> B;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        cc[i] = cc[i-1] + (a[i] % 2 ? 1 : -1);
    }
    for (int i = 1; i < n; i ++) if (!cc[i]) que.push(abs(a[i+1]-a[i]));
    while (!que.empty()) {
        int u = que.top();
        que.pop();
        if (u > B) break;
        B -= u;
        cnt ++;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}