网络流总结最大流

Posted 2020-11-24 athosd

网络流模型的性质

1>容量限制:$f(x,y)$<=$c(x,y)$

2>斜对称:$f(x,y)$=-$f(y,x)$

3>流守恒:除了S或者T,每个点的流出流量等于流入流量

 

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最大流

最大流问题是指给定S和T，求出S到T的最大流量

 

 

这个图的最大流就是2，但是假如我们把这个图给skyh的话，他一定会走S->2->3->T,流量为1

之后他就写比了

我们如何该用一些反悔的操作来保证最大流呢?

用增广路

我们把skyh的图利用斜对称的性质进行反向边加流后拿出来看一看

 

神奇的是，我们又发现了一条路径，所以继续流过去

最后达到了与最优解一样的效果

增广路一般会用到Ek或dinic算法

但在最大流中一般用dinic

相同的是都先用对图分层，不同的是dinic是多路增广

代码就不放啦

 

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T1奇怪的游戏

题目描述

Blinker最近喜欢上一个奇怪的游戏。
这个游戏在一个 N*M 的棋盘上玩，每个格子有一个数。每次 Blinker 会选择两个相邻的格子，并使这两个数都加上 1。
现在 Blinker 想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数，如果永远不能变成同一个数则输出-1。

输入格式

输入的第一行是一个整数T，表示输入数据有T轮游戏组成。
每轮游戏的第一行有两个整数N和M， 分别代表棋盘的行数和列数。
接下来有N行，每行 M个数。

输出格式

对于每个游戏输出最少能使游戏结束的次数，如果永远不能变成同一个数则输出-1。

相邻格子不难想到二分图染色，设白色的个数为$sum1$,总和为$num1$，黑色为$sum2$,$num2$,最终状态为x

那么便有$sum1*x-num1$=$sum2*x-num2$

1>$sum1$=$sum2$

直接二分并且用网络流$check$

注意需要满足$num1$=$num2$

2>$sum1$!=$sum2$($abs$($sum1-sum2$)=1)

$x$=$abs$($num1$-$num2$)，$check$一下是否合法便是答案

网络流建图:

($S$,$white$,$x-last$),($black$,$T$,$x-last$),($white$,$black$,$INF$)

 

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T2士兵占领

题目描述

有一个M * N的棋盘，有的格子是障碍。现在你要选择一些格子来放置一些士兵，一个格子里最多可以放置一个士兵，障碍格里不能放置士兵。我们称这些士兵占领了整个棋盘当满足第i行至少放置了Li个士兵, 第j列至少放置了Cj个士兵。现在你的任务是要求使用最少个数的士兵来占领整个棋盘。

输入格式

第一行两个数M, N, K分别表示棋盘的行数，列数以及障碍的个数。
第二行有M个数表示Li。 第三行有N个数表示Ci。
接下来有K行，每行两个数X, Y表示(X, Y)这个格子是障碍。

输出格式

输出一个数表示最少需要使用的士兵个数。如果无论放置多少个士兵都没有办法占领整个棋盘，输出”JIONG!” (不含引号)

考虑把至少放置转化成至多不放置，之后按行列转化成二分图，可以放置的地方化为边

于是它便成了一道最大流板子题

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T3紧急疏散

题目描述

发生了火警，所有人员需要紧急疏散！假设每个房间是一个N M的矩形区域。每个格子如果是‘.‘，那么表示这是一块空地；如果是‘X‘，那么表示这是一面墙，如果是‘D‘，那么表示这是一扇门，人们可以从这儿撤出房间。已知门一定在房间的边界上，并且边界上不会有空地。最初，每块空地上都有一个人，在疏散的时候，每一秒钟每个人都可以向上下左右四个方向移动一格，当然他也可以站着不动。疏散开始后，每块空地上就没有人数限制了（也就是说每块空地可以同时站无数个人）。但是，由于门很窄，每一秒钟只能有一个人移动到门的位置，一旦移动到门的位置，就表示他已经安全撤离了。现在的问题是：如果希望所有的人安全撤离，最短需要多少时间？或者告知根本不可能。

输入格式

第一行是由空格隔开的一对正整数N与M，3<=N <=20，3<=M<=20，
以下N行M列描述一个N M的矩阵。其中的元素可为字符‘.‘、‘X‘和‘D‘，且字符间无空格。

输出格式

只有一个整数K，表示让所有人安全撤离的最短时间，
如果不可能撤离，那么输出‘impossible‘（不包括引号）。

这道题用到了一个常用的套路:按时间拆点

显然满足单调性，但是直接二分会T，

我们发现check复杂度过高，反而二分的区间很小

所以考虑直接枚举时间，在上一个时间的残余网络上跑最大流