告别动态规划，连刷 40 道题，我总结了这些套路，看不懂你打我（万字长文）

Posted 2020-11-23 kubidemanong

动态规划难吗？说实话，我觉得很难，特别是对于初学者来说，我当时入门动态规划的时候，是看 0-1 背包问题，当时真的是一脸懵逼。后来，我遇到动态规划的题，看的懂答案，但就是自己不会做，不知道怎么下手。就像做递归的题，看的懂答案，但下不了手，关于递归的，我之前也写过一篇套路的文章，如果对递归不大懂的，强烈建议看一看：为什么你学不会递归，告别递归，谈谈我的经验

对于动态规划，春招秋招时好多题都会用到动态规划，一气之下，再 leetcode 连续刷了几十道题

之后，豁然开朗 ，感觉动态规划也不是很难，今天，我就来跟大家讲一讲，我是怎么做动态规划的题的，以及从中学到的一些套路。相信你看完一定有所收获

如果你对动态规划感兴趣，或者你看的懂动态规划，但却不知道怎么下手，那么我建议你好好看以下，这篇文章的写法，和之前那篇讲递归的写法，是差不多一样的，将会举大量的例子。如果一次性看不完，建议收藏，同时别忘了素质三连。

为了兼顾初学者，我会从最简单的题讲起，后面会越来越难，最后面还会讲解，该如何优化。因为 80% 的动规都是可以进行优化的。不过我得说，如果你连动态规划是什么都没听过，可能这篇文章你也会压力山大。

一、动态规划的三大步骤

动态规划，无非就是利用历史记录，来避免我们的重复计算。而这些历史记录，我们得需要一些变量来保存，一般是用一维数组或者二维数组来保存。下面我们先来讲下做动态规划题很重要的三个步骤，

如果你听不懂，也没关系，下面会有很多例题讲解，估计你就懂了。之所以不配合例题来讲这些步骤，也是为了怕你们脑袋乱了

第一步骤：定义数组元素的含义，上面说了，我们会用一个数组，来保存历史数组，假设用一维数组 dp[] 吧。这个时候有一个非常非常重要的点，就是规定你这个数组元素的含义，例如你的 dp[i] 是代表什么意思？

第二步骤：找出数组元素之间的关系式，我觉得动态规划，还是有一点类似于我们高中学习时的归纳法的，当我们要计算 dp[n] 时，是可以利用 dp[n-1]，dp[n-2].....dp[1]，来推出 dp[n] 的，也就是可以利用历史数据来推出新的元素值，所以我们要找出数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，这个就是他们的关系式了。而这一步，也是最难的一步，后面我会讲几种类型的题来说。

学过动态规划的可能都经常听到最优子结构，把大的问题拆分成小的问题，说时候，最开始的时候，我是对最优子结构一梦懵逼的。估计你们也听多了，所以这一次，我将换一种形式来讲，不再是各种子问题，各种最优子结构。所以大佬可别喷我再乱讲，因为我说了，这是我自己平时做题的套路。

第三步骤：找出初始值。学过数学归纳法的都知道，虽然我们知道了数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，我们可以通过 dp[n-1] 和 dp[n-2] 来计算 dp[n]，但是，我们得知道初始值啊，例如一直推下去的话，会由 dp[3] = dp[2] + dp[1]。而 dp[2] 和 dp[1] 是不能再分解的了，所以我们必须要能够直接获得 dp[2] 和 dp[1] 的值，而这，就是所谓的初始值。

由了初始值，并且有了数组元素之间的关系式，那么我们就可以得到 dp[n] 的值了，而 dp[n] 的含义是由你来定义的，你想求什么，就定义它是什么，这样，这道题也就解出来了。

不懂？没事，我们来看三四道例题，我讲严格按这个步骤来给大家讲解。

二、案例详解

案例一、简单的一维 DP

问题描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

(1)、定义数组元素的含义

按我上面的步骤说的，首先我们来定义 dp[i] 的含义，我们的问题是要求青蛙跳上 n 级的台阶总共由多少种跳法，那我们就定义 dp[i] 的含义为：跳上一个 i 级的台阶总共有 dp[i] 种跳法。这样，如果我们能够算出 dp[n]，不就是我们要求的答案吗？所以第一步定义完成。

（2）、找出数组元素间的关系式

我们的目的是要求 dp[n]，动态规划的题，如你们经常听说的那样，就是把一个规模比较大的问题分成几个规模比较小的问题，然后由小的问题推导出大的问题。也就是说，dp[n] 的规模为 n，比它规模小的是 n-1, n-2, n-3.... 也就是说，dp[n] 一定会和 dp[n-1], dp[n-2]....存在某种关系的。我们要找出他们的关系。

那么问题来了，怎么找？

这个怎么找，是最核心最难的一个，我们必须回到问题本身来了，来寻找他们的关系式，dp[n] 究竟会等于什么呢？

对于这道题，由于情况可以选择跳一级，也可以选择跳两级，所以青蛙到达第 n 级的台阶有两种方式

一种是从第 n-1 级跳上来

一种是从第 n-2 级跳上来

由于我们是要算所有可能的跳法的，所以有 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。

（3）、找出初始条件

当 n = 1 时，dp[1] = dp[0] + dp[-1]，而我们是数组是不允许下标为负数的，所以对于 dp[1]，我们必须要直接给出它的数值，相当于初始值，显然，dp[1] = 1。一样，dp[0] = 0.（因为 0 个台阶，那肯定是 0 种跳法了）。于是得出初始值：

dp[0] = 0.
dp[1] = 1.
即 n <= 1 时，dp[n] = n.

三个步骤都做出来了，那么我们就来写代码吧，代码会详细注释滴。

int f( int n ){
    if(n <= 1)
    return n;
    // 先创建一个数组来保存历史数据
    int[] dp = new int[n+1];
    // 给出初始值
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    // 通过关系式来计算出 dp[n]
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        dp[i] = dp[i-1] + dp[-2];
    }
    // 把最终结果返回
    return dp[n];
}

（4）、再说初始化

大家先想以下，你觉得，上面的代码有没有问题？

答是有问题的，还是错的，错在对初始值的寻找不够严谨，这也是我故意这样弄的，意在告诉你们，关于初始值的严谨性。例如对于上面的题，当 n = 2 时，dp[2] = dp[1] + dp[0] = 1。这显然是错误的，你可以模拟一下，应该是 dp[2] = 2。

也就是说，在寻找初始值的时候，一定要注意不要找漏了，dp[2] 也算是一个初始值，不能通过公式计算得出。有人可能会说，我想不到怎么办？这个很好办，多做几道题就可以了。

下面我再列举三道不同的例题，并且，再在未来的文章中，我也会持续按照这个步骤，给大家找几道有难度且类型不同的题。下面这几道例题，不会讲的特性详细哈。实际上 ，上面的一维数组是可以把空间优化成更小的，不过我们现在先不讲优化的事，下面的题也是，不讲优化版本。

案例二：二维数组的 DP

我做了几十道 DP 的算法题，可以说，80% 的题，都是要用二维数组的，所以下面的题主要以二维数组为主，当然有人可能会说，要用一维还是二维，我怎么知道？这个问题不大，接着往下看。

问题描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

这是 leetcode 的 62 号题：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

还是老样子，三个步骤来解决。

步骤一、定义数组元素的含义

由于我们的目的是从左上角到右下角一共有多少种路径，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，一共有 dp[i] [j] 种路径。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。

注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 右下角的位置是 (m-1, n - 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要找的答案。

步骤二：找出关系数组元素间的关系式

想象以下，机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达

一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达

一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达

因为是计算所有可能的步骤，所以是把所有可能走的路径都加起来，所以关系式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]。

步骤三、找出初始值

显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的，相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下：

dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往左走

dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走

撸代码

三个步骤都写出来了，直接看代码

public static int uniquePaths(int m, int n) {
    if (m <= 0 || n <= 0) {
        return 0;
    }

    int[][] dp = new int[m][n]; // 
    // 初始化
    for(int i = 0; i < m; i++){
      dp[i][0] = 1;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
      dp[0][i] = 1;
    }
        // 推导出 dp[m-1][n-1]
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

O(n*m) 的空间复杂度可以优化成 O(min(n, m)) 的空间复杂度的，不过这里先不讲

案例三、二维数组 DP

写到这里，有点累了，，但还是得写下去，所以看的小伙伴，你们可得继续看呀。下面这道题也不难，比上面的难一丢丢，不过也是非常类似

问题描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

举例：
输入:
arr = [
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

和上面的差不多，不过是算最优路径和，这是 leetcode 的第64题：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum/

还是老样子，可能有些人都看烦了，哈哈，但我还是要按照步骤来写，让那些不大懂的加深理解。有人可能觉得，这些题太简单了吧，别慌，小白先入门，这些属于 medium 级别的，后面在给几道 hard 级别的。

步骤一、定义数组元素的含义

由于我们的目的是从左上角到右下角，最小路径和是多少，那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时，最下的路径和是 dp[i] [j]。那么，dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。

注意，这个网格相当于一个二维数组，数组是从下标为 0 开始算起的，所以 由下角的位置是 (m-1, n - 1)，所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要走的答案。

步骤二：找出关系数组元素间的关系式

想象以下，机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置？由于机器人可以向下走或者向右走，所以有两种方式到达

一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达

一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达

不过这次不是计算所有可能路径，而是计算哪一个路径和是最小的，那么我们要从这两种方式中，选择一种，使得dp[i] [j] 的值是最小的，显然有

dp[i] [j] = min(dp[i-1][j]，dp[i][j-1]) + arr[i][j];// arr[i][j] 表示网格种的值

步骤三、找出初始值

显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的，相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下：

dp[0] [j] = arr[0] [j] + dp[0] [j-1]; // 相当于最上面一行，机器人只能一直往左走

dp[i] [0] = arr[i] [0] + dp[i] [0]; // 相当于最左面一列，机器人只能一直往下走

代码如下

public static int uniquePaths(int[][] arr) {
    int m = arr.length;
    int n = arr[0].length;
    if (m <= 0 || n <= 0) {
        return 0;
    }

    int[][] dp = new int[m][n]; // 
    // 初始化
    dp[0][0] = arr[0][0];
    // 初始化最左边的列
    for(int i = 1; i < m; i++){
      dp[i][0] = dp[i-1][0] + arr[i][0];
    }
    // 初始化最上边的行
    for(int i = 1; i < n; i++){
      dp[0][i] = dp[0][i-1] + arr[0][i];
    }
        // 推导出 dp[m-1][n-1]
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + arr[i][j];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

O(n*m) 的空间复杂度可以优化成 O(min(n, m)) 的空间复杂度的，不过这里先不讲

案例 4：编辑距离

这次给的这道题比上面的难一些，在 leetcdoe 的定位是 hard 级别。好像是 leetcode 的第 72 号题。

问题描述

给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例：
输入: word1 = "horse", word2 = "ros"
输出: 3
解释: 
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

解答

还是老样子，按照上面三个步骤来，并且我这里可以告诉你，90% 的字符串问题都可以用动态规划解决，并且90%是采用二维数组。

步骤一、定义数组元素的含义

由于我们的目的求将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。那我们就定义 dp[i] [j]的含义为：当字符串 word1 的长度为 i，字符串 word2 的长度为 j 时，将 word1 转化为 word2 所使用的最少操作次数为 dp[i] [j]。

有时候，数组的含义并不容易找，所以还是那句话，我给你们一个套路，剩下的还得看你们去领悟。

步骤二：找出关系数组元素间的关系式

接下来我们就要找 dp[i] [j] 元素之间的关系了，比起其他题，这道题相对比较难找一点，但是，不管多难找，大部分情况下，dp[i] [j] 和 dp[i-1] [j]、dp[i] [j-1]、dp[i-1] [j-1] 肯定存在某种关系。因为我们的目标就是，**从规模小的，通过一些操作，推导出规模大的。对于这道题，我们可以对 word1 进行三种操作

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

由于我们是要让操作的次数最小，所以我们要寻找最佳操作。那么有如下关系式：

一、如果我们 word1[i] 与 word2 [j] 相等，这个时候不需要进行任何操作，显然有 dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1]。（别忘了 dp[i] [j] 的含义哈）。

二、如果我们 word1[i] 与 word2 [j] 不相等，这个时候我们就必须进行调整，而调整的操作有 3 种，我们要选择一种。三种操作对应的关系试如下（注意字符串与字符的区别）：

（1）、如果把字符 word1[i] 替换成与 word2[j] 相等，则有 dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] + 1;

（2）、如果在字符串 word1末尾插入一个与 word2[j] 相等的字符，则有 dp[i] [j] = dp[i] [j-1] + 1;

（3）、如果把字符 word1[i] 删除，则有 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + 1;

那么我们应该选择一种操作，使得 dp[i] [j] 的值最小，显然有

dp[i] [j] = min(dp[i-1] [j-1]，dp[i] [j-1]，dp[[i-1] [j]]) + 1;

于是，我们的关系式就推出来了，

步骤三、找出初始值

显然，当 dp[i] [j] 中，如果 i 或者 j 有一个为 0，那么还能使用关系式吗？答是不能的，因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1，就变成负数了，数组就会出问题了，所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n] 和所有的 dp[0….m] [0]。这个还是非常容易计算的，因为当有一个字符串的长度为 0 时，转化为另外一个字符串，那就只能一直进行插入或者删除操作了。

代码如下

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int n1 = word1.length();
    int n2 = word2.length();
    int[][] dp = new int[n1 + 1][n2 + 1];
    // dp[0][0...n2]的初始值
    for (int j = 1; j <= n2; j++) 
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + 1;
    // dp[0...n1][0] 的初始值
    for (int i = 1; i <= n1; i++) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + 1;
        // 通过公式推出 dp[n1][n2]
    for (int i = 1; i <= n1; i++) {
        for (int j = 1; j <= n2; j++) {
            // 如果 word1[i] 与 word2[j] 相等。第 i 个字符对应下标是 i-1
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)){
                p[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            }else {
               dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
            }         
        }
    }
    return dp[n1][n2];  
}

最后说下，如果你要练习，可以去 leetcode，选择动态规划专题，然后连续刷几十道，保证你以后再也不怕动态规划了。当然，遇到很难的，咱还是得挂。

Leetcode 动态规划直达：https://leetcode-cn.com/tag/dynamic-programming/

三、如何优化？

前两天写一篇长达 8000 子的关于动态规划的文章告别动态规划，连刷40道动规算法题，我总结了动规的套路

这篇文章更多讲解我平时做题的套路，不过由于篇幅过长，举了 4 个案例之后，没有讲解优化，今天这篇文章就来讲解下，对动态规划的优化如何下手，并且以前几天那篇文章的题作为例子直接讲优化，如果没看过的建议看一下（不看也行，我会直接给出题目以及没有优化前的代码）：告别动态规划，连刷40道动规算法题，我总结了动规的套路

四、优化核心：画图！画图！画图

没错，80% 的动态规划题都可以画图，其中 80% 的题都可以通过画图一下子知道怎么优化，当然，DP 也有一些很难的题，想优化可没那么容易，不过，今天我要讲的，是属于不怎么难，且最常见，面试笔试最经常考的难度的题。

下面我们直接通过三道题目来讲解优化，你会发现，这些题，优化过后，代码只有细微的改变，你只要会一两道，可以说是会了 80% 的题。

O(n*m) 空间复杂度优化成 O(n)

上次那个青蛙跳台阶的 dp 题是可以把空间复杂度 O( n) 优化成 O(1)，本来打算从这道题讲起的，但想了下，想要学习 dp 优化的感觉至少都是 小小大佬了，所以就不讲了，就从二维数组的 dp 讲起。

案例1：最多路径数

问题描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

这是 leetcode 的 62 号题：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

这道题的 dp 转移公式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]，代码如下

不懂的看我之前文章：告别动态规划，连刷40道动规算法题，我总结了动规的套路

public static int uniquePaths(int m, int n) {
    if (m <= 0 || n <= 0) {
        return 0;
    }

    int[][] dp = new int[m][n]; // 
    // 初始化
    for(int i = 0; i < m; i++){
      dp[i][0] = 1;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
      dp[0][i] = 1;
    }
        // 推导出 dp[m-1][n-1]
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

这种做法的空间复杂度是 O(n * m)，下面我们来讲解如何优化成 O(n)。

dp[i] [j] 是一个二维矩阵，我们来画个二维矩阵的图，对矩阵进行初始化

然后根据公式 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] 来填充矩阵的其他值。下面我们先填充第二行的值。

大家想一个问题，当我们要填充第三行的值的时候，我们需要用到第一行的值吗？答是不需要的，不行你试试，当你要填充第三，第四....第 n 行的时候，第一行的值永远不会用到，只要填充第二行的值时会用到。

根据公式 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，我们可以知道，当我们要计算第 i 行的值时，除了会用到第 i - 1 行外，其他第 1 至 第 i-2 行的值我们都是不需要用到的，也就是说，对于那部分用不到的值我们还有必要保存他们吗？

答是没必要，我们只需要用一个一维的 dp[] 来保存一行的历史记录就可以了。然后在计算机的过程中，不断着更新 dp[] 的值。单说估计你可能不好理解，下面我就手把手来演示下这个过程。

1、刚开始初始化第一行，此时 dp[0..n-1] 的值就是第一行的值。

2、接着我们来一边填充第二行的值一边更新 dp[i] 的值，一边把第一行的值抛弃掉。

为了方便描述，下面我们用arr (i，j）表示矩阵中第 i 行 第 j 列的值。从 0 开始哈，就是说有第 0 行。

（1）、显然，矩阵(1, 0) 的值相当于以往的初始化值，为 1。然后这个时候矩阵 (0，0）的值不在需要保存了，因为再也用不到了。

这个时候，我们也要跟着更新 dp[0] 的值了，刚开始 dp[0] = (0, 0)，现在更新为 dp[0] = (1, 0)。

（2）、接着继续更新 (1, 1) 的值，根据之前的公式 （i, j) = (i-1, j) + (i, j- 1)。即 （1，1）=（0，1）+（1，0）=2。

大家看图，以往的二维的时候， dp[i][j] = dp[i-1] [j]+ dp[i][j-1]。现在转化成一维，不就是 dp[i] = dp[i] + dp[i-1] 吗？

即 dp[1] = dp[1] + dp[0]，而且还动态帮我们更新了 dp[1] 的值。因为刚开始 dp[i] 的保存第一行的值的，现在更新为保存第二行的值。

(3)、同样的道理，按照这样的模式一直来计算第二行的值，顺便把第一行的值抛弃掉，结果如下

此时，dp[i] 将完全保存着第二行的值，并且我们可以推导出公式

dp[i] = dp[i-1] + dp[i]

dp[i-1] 相当于之前的 dp[i-1][j]，dp[i] 相当于之前的 dp[i][j-1]。

于是按照这个公式不停着填充到最后一行，结果如下：

最后 dp[n-1] 就是我们要求的结果了。所以优化之后，代码如下：

public static int uniquePaths(int m, int n) {
    if (m <= 0 || n <= 0) {
        return 0;
    }

    int[] dp = new int[n]; // 
    // 初始化
    for(int i = 0; i < n; i++){
      dp[i] = 1;
    }

        // 公式：dp[i] = dp[i-1] + dp[i]
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        // 第 i 行第 0 列的初始值
        dp[0] = 1;
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[j] = dp[j-1] + dp[j];
        }
    }
    return dp[n-1];
}

案例2：编辑距离

接着我们来看昨天的另外一道题，就是编辑矩阵，这道题的优化和这一道有一点点的不同，上面这道 dp[i][j] 依赖于 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]。而还有一种情况就是 dp[i][j] 依赖于 dp[i-1][j]，dp[i-1][j-1] 和 dp[i][j-1]。

问题描述

给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例：
输入: word1 = "horse", word2 = "ros"
输出: 3
解释: 
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

解答

昨天的代码如下所示，不懂的记得看之前的文章哈：告别动态规划，连刷40道动规算法题，我总结了动规的套路

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int n1 = word1.length();
    int n2 = word2.length();
    int[][] dp = new int[n1 + 1][n2 + 1];
    // dp[0][0...n2]的初始值
    for (int j = 1; j <= n2; j++) 
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + 1;
    // dp[0...n1][0] 的初始值
    for (int i = 1; i <= n1; i++) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + 1;
        // 通过公式推出 dp[n1][n2]
    for (int i = 1; i <= n1; i++) {
        for (int j = 1; j <= n2; j++) {
            // 如果 word1[i] 与 word2[j] 相等。第 i 个字符对应下标是 i-1
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)){
                p[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            }else {
               dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
            }         
        }
    }
    return dp[n1][n2];  
}

没有优化之间的空间复杂度为 O(n*m)

大家可以自己动手做下，按照上面的那个模式，你会优化吗？

对于这道题其实也是一样的，如果要计算 第 i 行的值，我们最多只依赖第 i-1 行的值，不需要用到第 i-2 行及其以前的值，所以一样可以采用一维 dp 来处理的。

不过这个时候要注意，在上面的例子中，我们每次更新完 (i, j) 的值之后，就会把 (i, j-1) 的值抛弃，也就是说之前是一边更新 dp[i] 的值，一边把 dp[i] 的旧值抛弃的，不过在这道题中则不可以，因为我们还需要用到它。

哎呀，直接举例子看图吧，文字绕来绕去估计会绕晕你们。当我们要计算图中 (i,j) 的值的时候，在案例1 中，我们值需要用到 (i-1, j) 和 (i, j-1)。（看图中方格的颜色）

不过这道题中，我们还需要用到 （i-1, j-1) 这个值（但是这个值在以往的案例1 中，它会被抛弃掉）

所以呢，对于这道题，我们还需要一个额外的变量 pre 来时刻保存 (i-1,j-1) 的值。推导公式就可以从二维的

dp[i][j] = min(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-1] , dp[i][j-1]) + 1

转化为一维的

dp[i] = min(dp[i-1], pre, dp[i]) + 1。

所以呢，案例2 其实和案例1 差别不大，就是多了个变量来临时保存。最终代码如下（但是初学者话，代码也没那么好写）

代码如下

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int n1 = word1.length();
    int n2 = word2.length();
    int[] dp = new int[n2 + 1];
    // dp[0...n2]的初始值
    for (int j = 0; j <= n2; j++) 
        dp[j] = j;
    // dp[j] = min(dp[j-1], pre, dp[j]) + 1
    for (int i = 1; i <= n1; i++) {
        int temp = dp[0];
        // 相当于初始化
        dp[0] = i;
        for (int j = 1; j <= n2; j++) {
            // pre 相当于之前的 dp[i-1][j-1]
            int pre = temp;
            temp = dp[j];
            // 如果 word1[i] 与 word2[j] 相等。第 i 个字符对应下标是 i-1
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)){
                dp[j] = pre;
            }else {
               dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], pre), dp[j]) + 1;
            } 
            // 保存要被抛弃的值       
        }
    }
    return dp[n2]; 
}

总结

上面的这些题，基本都是不怎么难的入门题，除了最后一道相对难一点。并且基本 80% 的二维矩阵 dp 都可以像上面的方法一样优化成 一维矩阵的 dp，核心就是要画图，看他们的值依赖，当然，还有很多其他比较难的优化，但是，我遇到的题中，大部分都是我上面这种类型的优化。后面如何遇到其他的，我会作为案例来讲，今天就先讲最普遍最通用的优化方案。记住，画二维 dp 的矩阵图，然后看元素之间的值依赖，然后就可以很清晰着知道该如何优化了。

在之后的文章中，我也会按照这个步骤，在给大家讲四五道动态规划 hard 级别的题，会放在每天推文的第二条给大家学习。如果觉得有收获，不放三连走起来（点赞、感谢、分享），嘻嘻。

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作者简洁

作者：帅地，一位热爱、认真写作的小伙，目前维护原创公众号：『苦逼的码农』，已写了150多篇文章，专注于写 算法、计算机基础知识等提升你内功的文章，期待你的关注。
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