对于求解单峰函数最值问题的探讨

Posted 2020-11-23 henry-1202

现在已知一个单峰函数(f)，求它在某个区间内的最值
可以做到(O(nlog_3 n))或者(O(n log_2 n))（假设求该函数的一个点值是(O(1))的）

三分法

最常规的做法。
每次取区间的三等分点(lmid)和(rmid)，比较(f(lmid))和(f(rmid))的大小来缩小区间。

• (f(lmid)>f(rmid))，最值一定在(rmid)左侧，令(r=rmid)
• (f(lmid)<f(rmid))，最值一定在(lmid)右侧，令(l=lmid)

注意，当函数在某个区间内为常函数时，并不能正确地得到该函数在区间内的最值。

求导+二分

对于单峰函数(f)，显然它的一侧的是单调增的，另一侧是单调减的。
对该函数求导，那么单调增一侧的导数(f')大于(0)，单调减一侧的导数(f')小于(0)，最值处的导数为(0)
那么就可以利用二分法来确定导函数的零点。
如果函数(f)是个常规的函数，如(n)次函数，可以直接利用公式求导。如果是个抽象函数的话，我们不妨利用导数的定义来求出该点的导数。
[ f'(x)=lim_{Delta x o 0}frac {f(x+Delta x)-f(x)} {Delta x} ]
选择在精度允许内尽可能小的(Delta x)就可以算出(f'(x))了。
假设求出该函数的导数的复杂度为(O(1))，那么总的复杂度是(O(n log_2 n))的。

[模板] 三分法

题目链接
三分或者求导均可。
三分代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 20;
const double eps = 1e-8;

double a[N], l, r;
int n;

double f(double x) {
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n + 1; ++i) ans = 1.0 * ans * x + a[i];
    return ans;
}

bool check(double x, double y) {
    return f(x) < f(y);
}

int main() {
    scanf("%d%lf%lf", &n, &l, &r);
    for(int i = 1; i <= n + 1; ++i) scanf("%lf", &a[i]);
    while(l + eps < r) {
        double len = (r - l) / 3.0;
        double lmid = l + len, rmid = r - len;
        if(check(lmid, rmid)) l = lmid; 
        else r = rmid;
    }
    printf("%.5lf
", l);
}

求导代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 20;
const double eps = 1e-8;

double a[N], l, r;
int n;

double f(double x) {
    double ans = 0;
    for(int i = n + 1; i; --i) ans = 1.0 * ans * x + a[i];
    return ans;
}

double check(double x) {
    return (f(x + eps) - f(x)) / eps;
}

int main() {
    scanf("%d%lf%lf", &n, &l, &r);
    for(int i = n + 1; i; --i) scanf("%lf", &a[i]);
    while(l + eps < r) {
        double mid = (l + r) / 2.0;
        if(check(mid) >= 0) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.5lf
", l);
}

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