哈夫曼树(最优二叉树)

Posted 2020-11-22 julyzqy

主要摘自https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3706821.html感谢大佬

https://www.cnblogs.com/kubixuesheng/p/4397798.html这位大佬举例很好

一、哈夫曼树（霍夫曼树）

注. 哈夫曼树也称最优二叉树。

　叶子节点的权值是对叶子节点赋予的一个有意义的数值量。

　设二叉树具有 n 个带权值的叶子结点，从根节点到各个叶子结点的路径长度与相应叶子结点权值的乘积之和叫做二叉树的带权路径长度。

　给定一组具有确定权值的叶子结点，可以构造处不同的二叉树，将其中带权路径长度最小的二叉树称为哈夫曼树。、

定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树

 

• 初始化：由给定的 n 个权值 {ω1,ω2,?,ωn}{ω1,ω2,?,ωn}构造 n 棵只有一个根节点的二叉树，从而得到一个二叉树集合F={T1,T2,?,Tn}F={T1,T2,?,Tn}。
• 选取与合并：在FF中选取根节点的权值最小的两颗二叉树分别作为左右子树构造一棵新的二叉树（一般情况下将权值大的结点作为右子树。），这棵新二叉树的根节点的权值为其左、右子树根节点的权值之和。
• 删除与加入：在FF中删除作为左、右子树的两棵二叉树，并将新建立的二叉树加入到FF中。
• 重复上述两个步骤，当集合FF中只剩下一棵二叉树时，这棵二叉树便是哈夫曼树。
• 

   

   

随便找一个图进行说明一下：

 

(1) 路径和路径长度

定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。  例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。

(2) 结点的权及带权路径长度

定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。  例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。

(3) 树的带权路径长度

定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。  例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。

 

比较下面两棵树

上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。

左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360  右边的树WPL=350

左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。

哈夫曼树的图文解析

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w₁、w₂、…、w_n，哈夫曼树的构造规则为：

1. 将w₁、w₂、…，w_n看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)； 

2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和； 

3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林； 

4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。

第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。 

第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。 

第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。 

第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。 

第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。  此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！

以下利用c实现哈夫曼树的的构造：