一本通-P1799-数列

Posted 2020-11-22 wangjunrui

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(f_0)	(f_1)	(f_2)	(f_3)	(f_4)	(f_5)	(f_6)	(f_7)	(f_8)	(f_9)	(f_{10})
0	0	0	2	10	32	84	198	438	932	1936

我们发现
[f_i=2f_{i-1}+(i-1)* (i-2) ]
我们可以设
[g_i=i * (i-1)]
则
[g_i=i*(i-1)=(i-1) * (i-2)+2(i-1)=g_{i-1}+2(i-1)]
则
我们可以推出初始矩阵
[egin{bmatrix}& f_0&g_0&0&1 & end{bmatrix}=egin{bmatrix}& 0&0&0&1 & end{bmatrix}]
第一个数是(f_0)，第二个数是(g_0)，第三个数是i，第四个数是1。
以及转移矩阵
[egin{bmatrix} & 2&0&0&0 & \\ & 1&1&0&0 & \\ & 0&2&1&0 & \\ & 0&0&1&1 & end{bmatrix}]
第一行对应的是(f_0)，第二行对应的是(g_0)，第三行对应的是i，第四行对应的是1。

对于题目给出的(10^{5000})，本蒟蒻因为太弱，不想打高精，想到了使用类似于快速幂的方法，因为$a^n=(a^{x})^{10}* a^y (10* x+y=n) $

可以直接避免高精

于是，我们就可以写出代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#define re register
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+10,mod=1e9+7;
struct matrix
{
    int n,m,g[5][5];
    inline void init(int _n,int _m)
    {
        memset(g,0,sizeof(g));
        n=_n;
        m=_m;
    }
    inline matrix operator *(const matrix &b)
    {
        matrix res;
        res.init(n,b.m);
        for(re int i=1; i<=res.n; i++)
            for(re int j=1; j<=res.m; j++)
                for(re int k=1; k<=b.n; k++)
                    res.g[i][j]=(res.g[i][j]+1ll*g[i][k]*b.g[k][j])%mod;
        return res;
    }
    template<typename T>
    inline matrix operator ^ (T b)
    {
        matrix res,a=(*this);
        res.init(4,4);
        for(re int i=1; i<=4; i++)
            res.g[i][i]=1;
        while(b)
        {
            if(b&1)
                res=res*a;
            a=a*a;
            b>>=1;
        }
        return res;
    }
    inline void print()
    {
        for(re int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(re int j=1; j<=m; j++)
                printf("%d ",g[i][j]);
            putchar('
');
        }
        return;
    }
} a,b,f;
int n;
char s[5010];
int main()
{
    a.init(1,4);
    a.g[1][4]=1;
    b.init(4,4);
    b.g[1][1]=2;
    b.g[2][1]=b.g[2][2]=1;
    b.g[3][2]=2,b.g[3][3]=1;
    b.g[4][3]=b.g[4][4]=1;
    f.init(4,4);
    for(re int i=1; i<=4; i++)
        f.g[i][i]=1;
    scanf("%s",s+1);
    for(re int i=1; s[i]; i++)
        f=(f^10)*(b^((int)s[i]-'0'));
    printf("%d
",(a*f).g[1][1]);
    return 0;
}