CF1103C Johnny Solving (Codeforces Round #534 (Div. 1)) 思维+构造

Posted 2020-11-21 hankeke

题目传送门

https://codeforces.com/contest/1103/problem/C

题解

这个题还算一个有难度的不错的题目吧。

题目给出了两种回答方式：

1. 找出一条长度 (geq frac nk) 的路径；
2. 找出 (k) 个简单环，满足长度不是 (3) 的倍数，并且每个环至少存在一个点不在别的环中。

很显然题目并不是要你随便挑一种回答方式开始单独研究。最有可能的情况是两种回答方式可以替补。

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如果我们随便作出原图的一棵生成树，如果最长的路径长度 (geq frac nk)，那么我们可以直接输出。否则，很容易发现，这棵树上至少有 (k) 个叶子。

很容易把 (k) 个叶子往第二种回答方式中的 (k) 个环上联想。但是第二个回答方式中的几个条件我们还都要满足。

对于“每个环至少存在一个点不在别的环中”这个条件，等价于就是说，每一个叶子不会和其余的叶子有连边。dfs 树可以保证这个性质，同时 dfs 树还可以保证，每一个点出来的非树边一定是返祖边。那么，建立 dfs 树以后，每个环就是每一个叶子和它的一些祖先之间的事情了。

接着考虑环的长度不是 (3) 的倍数的这个条件。

首先，我们不妨假设叶子 (x) 连向的两条返祖边指向的点分别为 (x) 的祖先为 (f_1) 和 (f_2)。

那么我们得到了三个环 (x o f_1 o x)，(x o f_2 o x)，(f_1 o f_2 o x)。

然后三条路径的长度为别为 (dep_x - dep_{f_1} + 1)，(dep_x - dep_{f_2} + 1)，(dep_{f_1} - dep_{f_2} + 2)。

如果 (dep_x - dep_{f_1} + 1) 和 (dep_x - dep_{f_2} + 1) 都是 (3) 的倍数（否则输出其中的一个就可以了），那么就是说 ((dep_x - dep_{f_1}) - (dep_x - dep_{f_2}) + 2 = dep_{f_1} - dep_{f_2} + 2) 模上 (3) 应该是 (2)。

也就是说，上面的三个环中至少存在一个环的长度不是 (3) 的倍数。输出哪一个即可。

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时间复杂度 (O(n+m))。

#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I> inline void read(I &x) {
    int f = 0, c;
    while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
    x = c & 15;
    while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
    f ? x = -x : 0;
}

const int N = 2.5e5 + 7;
const int M = 5e5 + 7;

int n, m, k, nk;
int fz[N][3], f[N], chk[N], vis[N], dep[N];

struct Edge { int to, ne; } g[M << 1]; int head[N], tot;
inline void addedge(int x, int y) { g[++tot].to = y, g[tot].ne = head[x], head[x] = tot; }
inline void adde(int x, int y) { addedge(x, y), addedge(y, x); }

inline void dfs(int x, int fa = 0) {
    f[x] = fa, vis[x] = 1, dep[x] = dep[fa] + 1;
    int &c = chk[x] = 1;
    for fec(i, x, y)
        if (!vis[y]) c = 0, dfs(y, x);
        else if (y != fa && fz[x][0] < 2) fz[x][++fz[x][0]] = y;
}

inline void work() {
    dfs(1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (dep[i] >= nk) {
        puts("PATH");
        printf("%d
", dep[i]);
        for (int x = i; x; x = f[x]) printf("%d%c", x, " 
"[!f[x]]);
        return;
    }
    puts("CYCLES");
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (chk[i]) {
        ++cnt;
        if (dep[fz[i][1]] < dep[fz[i][2]]) std::swap(fz[i][1], fz[i][2]);
        if ((dep[i] - dep[fz[i][1]]) % 3 != 2) {
            int ans = 0;
            for (int x = i; x != f[fz[i][1]]; x = f[x]) ++ans;
            printf("%d
", ans);
            for (int x = i; x != f[fz[i][1]]; x = f[x]) printf("%d%c", x, " 
"[x == fz[i][1]]);
        } else {
            if ((dep[i] - dep[fz[i][2]]) % 3 != 2) {
                int ans = 0;
                for (int x = i; x != f[fz[i][2]]; x = f[x]) ++ans;
                printf("%d
", ans);
                for (int x = i; x != f[fz[i][2]]; x = f[x]) printf("%d%c", x, " 
"[x == fz[i][2]]);
            } else {
                int ans = 1;
                for (int x = fz[i][1]; x != f[fz[i][2]]; x = f[x]) ++ans;
                printf("%d
", ans);
                for (int x = fz[i][1]; x != f[fz[i][2]]; x = f[x]) printf("%d ", x);
                printf("%d
", i);
            }
        }
        if (cnt >= k) return;
    }
    assert(cnt >= k);
}

inline void init() {
    read(n), read(m), read(k), nk = (n - 1) / k + 1;
    int x, y;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) read(x), read(y), adde(x, y);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
    freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
    init();
    work();
    fclose(stdin), fclose(stdout);
    return 0;
}