题解 CF1361B Johnny and Grandmaster

Posted 2022-01-09 BreezeEnder

目前（洛谷）最优解写法。

首先将 \\(k_i\\) 降序排列，并将相同的 \\(k_i\\) 合并。由于每个式子都是形如 \\(p^k_i\\) 的形式，即底数相同，可以考虑变成 \\(p\\) 进制，发现对于任意 \\(c_1,\\, \\ldots ,\\, c_i+1\\) 和 \\(a_0 < a_1 < a_2 \\ldots < a_i+1\\)，满足 \\(c_i+1 \\times p^a_i+1 \\ge \\sum\\limits_j=1^i c_j \\times p_a_j\\) 时，\\(c_i+1 \\times p^a_i+1 - \\sum\\limits_j=1^i c_j \\times p_a_j\\) 一定被 \\(p^a_0\\) 整除。

我们可以考虑记录 \\(s1,\\,s2\\) 表示两堆的和，使任意时刻 \\(s1 < s2\\)。
考虑 \\(k_i\\) 降序排序时贪心用较大的 \\(k\\) 补足 \\(s2-s1\\)。\\(\\textnow\\) 当前到 \\(i\\)，且 \\(p^k_i \\times \\textnow = s2 - s1\\)。由于是降序排序，如果 \\(\\textnow > n\\) 那么后面的 \\(k\\) 都一定分配到 \\(s1\\)。否则先使 \\(s1=s2\\)，再用剩下的 \\(k_i\\) 分配给 \\(s1,s2\\)，注意满足 \\(s1<s2\\)。

\\(\\textCode\\)：

def(N, int, 1e6 + 5)
def(p, int, 1e9 + 7)

int n, m;
int k[N];

int main() 
	int t; qread(t);
	W(t) 
		qread(n, m);
		rep(i, 1, n) qread(k[i]);
		sort(k + 1, k + n + 1, greater<int>());
		ll nw = 0;
		ll s1 = 0, s2 = 0;
		rep(i, 1, n) 
			if(nw && m != 1 && i != 1) 
				int nwm = k[i - 1] - k[i];
				rep(j, 1, nwm) 
					nw *= m;
					if(nw > n) 
						rep(l, i, n) s1 = (s1 + qpow(k[l], m, p)) % p;
						goto End;
					
				
			
			int cn = 0, j = i;
			while(j <= n && k[i] == k[j]) ++j, ++cn;
			int ps = min(nw, (ll)cn); nw -= ps;
			if(cn > ps) 
				cn -= ps;
				int c1 = cn >> 1, c2 = cn - c1;
				if(c1 != c2) nw = 1;
				s1 = qpow(k[i], m, p) * c1 % p;
				s2 = qpow(k[i], m, p) * c2 % p;
			
			else s1 = (s1 + qpow(k[i], m, p) * cn % p) % p;
			i = j - 1;
			// cout << s1 << \' \' << s2 << endl;
		
		End:;
		printf("%lld\\n", (s2 - s1 + p) % p);
	
	return 0;