[UOJ310][UNR #2]黎明前的巧克力

Posted 2020-11-21 zhoushuyu

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给你(n)个数，求从中选出两个交集为空的非空集合异或和相等的方案数模(998244353)。

sol

其实也就是选出一个集合满足异或和为(0)，然后把它分成两半。
利用生成函数那套理论，就是对于每个(a_i)，构造一个多项式(b_i)，其中(b_0=1,b_{a_i}=2)，然后把这(n)个(b)做集合异或卷积。这样我们就得到了一个优秀的(O(na_ilog a_i))的做法辣（雾）。
我们考虑一下(b_0=1,b_{a_i}=2)的这个(b)做一次(FWT)后会发生什么。
(b_0=1)会使得每个位置(+1)，(b_{a_i}=2)会使得某些位置(+2)，某些位置(-2)。所以最终变换出来的序列里只有(3)和(-1)。
我们能不能手动构造一下这若干个(b)的积呢？显然是可以的。我们只需要知道每一个位置上(3)的个数就行了（因为不是(3)就是(-1)，知道了(3)的个数也就确定了(-1)的个数）。
对于每个(a_i)，在(b_{a_i})的地方加个(1)，然后把这个(b)(FWT)一下，得到的就是每一个位置上(3)的个数减去(-1)的个数。
所以就可以方便地构造出乘积然后(FWT)回去了。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int gi(){
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?x:-x;
}
const int N = 1<<20;
const int mod = 998244353;
int n,mx,len=1,a[N],b[N];
int fastpow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){if(b&1)res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
    return res;
}
void fwt(int *P,int opt){
    for (int i=1;i<len;i<<=1)
        for (int p=i<<1,j=0;j<len;j+=p)
            for (int k=0;k<i;++k){
                int x=P[j+k],y=P[j+k+i];
                P[j+k]=1ll*(x+y)*opt%mod;
                P[j+k+i]=1ll*(x-y+mod)*opt%mod;
            }
}
int main(){
    n=gi();int inv2=(mod+1)/2;
    for (int i=1,x;i<=n;++i)
        x=gi(),++a[x],mx=max(mx,x);
    while (len<=mx) len<<=1;
    fwt(a,1);
    for (int i=0;i<len;++i){
        int x=1ll*(a[i]+n)*inv2%mod;
        a[i]=fastpow(3,x);if((n-x)&1)a[i]=mod-a[i];
    }
    fwt(a,inv2);
    printf("%d
",(a[0]-1+mod)%mod);
    return 0;
}