菲波纳切数列

Posted 2020-11-20 yingpu

写一个函数，输入n，求斐波那契数列（Fibonacci）数列的第n项。斐波那契数列定义如下：

当n=0时，f(n)=0;当n=1时，f(n)=1;当n>1时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

效率很低的解乏，挑剔的面试官不会喜欢。

public int fibo(int n){
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1) return 1;
    
    return fibo(n-1)+fibo(n-2);
}

我们以求解f(10)为例来分析递归的求解过程。想求得f(10),需要先求的f(9)和f(8)。同样，想求得f(9)，需要先求得f(8)和f(7)。我们不难发现在这棵树中有很多节点是重复的，而且重复的节点数会随着n的增大而急剧增加，这意味着计算量会随着n的增大而急剧增大。

 

面试官期待的实用解法：

首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，再根据f(1)和f(2)算出f(3)...依次类推就可以算出第n项了。算法时间复杂度为O(n)。

public class fibo{
    public int getFibo(int n){
        int[] result = {0,1};
        if(n<2){
            return result[n];
        }
        int fibOne = 0;
        int fibTwo = 1;
        int fibN=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            fibN = fibOne + fibTwo;
            fibOne = fibTwo;
            fibTwo = fibN;
        }
        return fibN;
    }
    public static void main(String[] args){
        fibo f = new fibo();
        int result = f.getFibo(3);
        System.out.println(result);
    }
}

 题目二：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

首先我们考虑最简单的情况。如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法，如果有2级台阶，那就有两种跳的方法了：一种是分两次跳，每次跳1级；另外一种就是一次跳2级。

接着我们再来讨论一般情况。我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳一级，此时跳法数目等于后买呢剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)；另外一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到这里，我们不难看出这实际上就是菲波纳切数列了。