矩阵快速幂优化菲波那切数列

Posted 2020-12-02 wxyww

　　普通的斐波那契数列的递推式很简单，但是如果要求第10¹⁴个斐波那契数的话，肯定会tle，这时就可以用矩阵快速幂来优化。

　　菲波那切数列普通的递推式是

　　f[i]=f[i-1]+f[i-2]

　　而矩阵乘法的规则是，讲n行m列的矩阵与k行n列的矩阵相乘，所得矩阵的第i行第j列的数是由第一个矩阵的第i列的每个数与第二个矩阵的第j行的每个数分别相乘，然后相加所得。

　　然后我们考虑上面的递推式，可以看做是

　　f[i]=f[i-1]*1+f[i-2]*1   f[i-1]=f[i-1]*1+f[i-2]*0

　　讲这些都看作是矩阵的话，那么

　　

　　然后求第n个斐波那契数就是求

　　

　　然后利用矩阵快速幂就可以了

　　例题codevs1732

　　代码：

　　

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const ll mod=1000000007; 
 7 struct node
 8 {
 9     ll a[5][5];
10 }aa;
11 node mul(node &x,node &y) 
12 {
13     node c;
14     for(int i=1;i<=2;++i)
15         for(int j=1;j<=2;++j)
16         {
17             c.a[i][j]=0;
18             for(int k=1;k<=2;++k)
19                 c.a[i][j]=(c.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
20         }
21     return c;
22 }
23 void quick(ll n)
24 {
25     node c;
26     aa.a[1][1]=aa.a[2][1]=aa.a[1][2]=1,aa.a[2][2]=0;
27     c.a[1][1]=c.a[2][1]=1;
28     c.a[1][2]=c.a[2][2]=0;
29     while(n)
30     {
31         if(n&1)
32         c=mul(c,aa);
33         n>>=1;
34         aa=mul(aa,aa);
35     }
36     //printf("%d %d
%d %d
",aa.a[1][1],aa.a[1][2],aa.a[2][1],aa.a[2][2]);
37     cout<<c.a[1][1]<<"
";
38     return;
39 }
40 int main()
41 {
42     ll n;
43     while(cin>>n)
44         quick(n-1);
45     return 0;
46 }