RSA学习总结

Posted 2020-09-14

一、RSA与公钥加密系统的起源与影响。

为了更好地突出公钥加密系统相对私钥加密系统的优势，让我们从这两个问题开始：

这个世界上如果没有公钥加密系统会怎么样呢？全用私钥加密系统会出现什么问题呢？

首先，私钥密码系统中的密码，加密解密之间是存在共享性的，也就是说，会加密就能做到会解密，会解密也就能做到会加密。

如果私钥密码系统用来做数字签名，会发生什么呢？你只要告诉了别人验证你的数字签名的正确性方法（解密），就同时告诉了他们伪造这个数字签名的方法（加密）。瞬间爆炸Orz。

其次，私钥加密系统需要有一次绝对保密的初始化过程。双方需要保密地交流一次约定加密方式。

在以往，这个过程都通过线下保证了保密。比如特工在出发前就跟总部约定好加密方式。

互联网时代这就出现问题了。如果你开了一个网站，需要跟每个用户进行保密交流。你很难跟每个用户都线下碰次头约定一下加密问题。可是如果交流全在网络上进行的话，双方约定加密方式的那几条信息本身用啥来加密呢。。。这就很尴尬了(?ω?)

1977年，罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）（膜一发图灵奖Orz）将大数因式分解的不对称性与对密码系统不对称性的需求联系起来，创造了第一个公钥加密系统，RSA算法。迄今为止，2048位的RSA秘钥仍是非常安全的，在全世界被广泛使用。

（这种关联的能力或许就是创造力的核心源泉之一吧，我想，RSA如同蒙拉丽莎的微笑，“独钓寒江雪”的意境，都是人类巅峰创造力的结晶）

 

二、RSA的分析。

先直接奉上RSA加密流程

找两个不相同的素数p,q.设n=pq

取d,e使de=1+k(p-1)(q-1)成立

对于原文M（一个01串），加密方式为C=M^e mod n，C即为密文

解密方式为 N=C^d mod n

最后有 N ≡ M mod n

实际操作时n公开，e，d公开一个， q,p保密

正确性证明

N=C^d=M^ed=M^(1+k(p-1)(q-1))=M*M^k(p-1)(q-1)

因为p,q都是素数，由费马小定理：M^(p-1)≡1 (mod p) ,M^(q-1)≡1 （mod p）

得C≡M（mod p）

费马小定理是欧拉定理的特例，考虑到后面的需要，在这里直接证明欧拉定理及欧拉函数的一些性质：

 

另外由于d，e是对称的，d可以用来解密e发来的消息也可以用来加密只给e看的消息。

即加密方式C也可以为C=M^d mod n,解密方式为 N=C^e mod n

 

三、密钥的生成

怎么找到一个足够大的素数呢？

我自己的第一反应是筛法。。可是马上意识到如果能从遍历找q,p就能遍历破p，q。其次如果要遍历找高达2048位的素数即使计算机运算速度亿亿次每秒，也足够算到地老天荒。（粗略估算了下结果是个高达几百位的数字，单位年）

从而遍历的办法是肯定不行的。但联想欧拉函数在n充分大的时候趋近于n/lnn（即n非常大的时候小于n的素数个数大约为n/lnn,该命题已被证明但我不会证），我们可以知道2048位的数中素数的密度并不算很小，几千分之一的样子。

如果有一个算法可以判断出一个数是不是素数，再猜个几千次，我们就能得到想要的2048位的素数了。

于是引出另一个神奇的算法:Miller-Rabin算法（又出现了一个图灵奖的名字Orz）

Miller-Rabin算法的思想起源于对费马小定理的逆定理的研究

啊好困了我要睡觉了。。。明天再补