P4318 完全平方数

Posted 2020-11-19 five20

题目描述

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

输入输出格式

输入格式：

 

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 TT ，表示测试数据的组数。 第 22 至第 T+1T+1 行每行有一个整数 K_iKi? ，描述一组数据，含义如题目中所描述。

 

输出格式：

 

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 ii 行输出相应的第 K_iKi? 个不是完全平方数的正整数倍的数。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

4 
1 
13 
100 
1234567

输出样例#1： 

1 
19 
163 
2030745

说明

对于 50%的数据有 1≤Ki?≤10⁵ , 对于 100%的数据有 1≤Ki?≤10⁹,T≤50

 

Solution：

　　本题zyys。

　　题意就是求第$k$个没有完全平方数因子的数，所谓数$x$的完全平方数因子就是$i^2|x，iin Z^+,i eq 1$。

　　一眼可以想到，直接线性枚举，然后每次$sqrt n$求约数判断，这样能水分，但是切不了本题。

　　此时，因为答案显然单调递增，考虑二分答案，然后判断$[1,x]$中的满足条件的数个数是否等于$k$。

　　对于$x$以内的无平方因子数=$0$个质数的平方的倍数的个数（即$1$的倍数）-$1$个质数的平方的倍数的个数（即$4,9,16…$的倍数）+$2$个质数的乘积的平方的倍数的个数（即$36,100,225…$的倍数）……

　　不难发现，整个式子其实就是容斥原理的体现，我们可以线筛求出莫比乌斯函数，那么最后的答案就是$ans= sum limits_{i=1}^{i^2 leq n}{ mu (i) imes lfloor{frac{n}{i^2}} floor}$。

　　那么线筛只要$sqrt{10^9}leq 40000$，然后二分边界$l=k,r=k imes 2$就好了（显然$k$以内最多就是每个数都是无平方因子数，而$2 imes k$内的质数大约$ln {2 imes k}个$，大约有sumlimits_{i=1}^{ln {2 imes k}}{C(ln {2 imes k},i)}个，貌似是大于$k$的吧！）

　　然后直接求就好了。

　　我这里想骚操作一波，所以就对求的式子进行了数论分块，那么只需处理出$mu$的前缀和就好了，然后对$lfloor{frac{n}{i^2}} floor$进行数论分块求。

　　事实证明，因为$ileq 40000$，所以优化效果并不特别明显。（暴力和优化一样快）

　　暴力时间复杂度$O(log n imes sqrt n)$，优化理论复杂度$O(log n imes sqrt{ sqrt n})$

代码：

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define ll long long
 4 #define RE register
 5 #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
 6 #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
 7 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 8 #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
 9 const ll N = 40005;
10 int mu[N+5],prime[N+5],cnt,T,k,m;
11 bool isprime[N+5],f;
12 
13 il ll gi(){
14     ll a=0;char x=getchar();
15     while(x<‘0‘||x>‘9‘)x=getchar();
16     while(x>=‘0‘&&x<=‘9‘)a=(a<<3)+(a<<1)+x-48,x=getchar();
17     return a;
18 }
19 
20 using namespace std;
21 
22 il bool check(ll x){
23     ll ans=0;
24     ll p,m=sqrt(x);
25     for(RE ll i=1;i<=m;i=p+1){
26         p=min((ll)(sqrt(x/(x/(i*i)))),m);
27         ans+=x/(i*i)*(mu[p]-mu[i-1]);
28     }
29     return ans>=k;
30 }
31 
32 il void solve(){
33     ll l=k,r=k<<1,mid;
34     while(l+1<r){
35         mid=l+r>>1;
36         if(check(mid))r=mid;
37         else l=mid;
38     }
39     if(check(l))printf("%lld
",l);
40     else printf("%lld
",r);
41 }
42 
43 int main(){
44     mu[1]=1;
45     For(i,2,N){
46         if(!isprime[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
47         for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++){
48             isprime[prime[j]*i]=1;
49             if(i%prime[j]==0)break;
50             mu[prime[j]*i]=-mu[i];
51         }
52     }
53     For(i,1,N) mu[i]+=mu[i-1];
54     T=gi();
55     while(T--){
56         k=gi();
57         solve();
58     }
59     return 0;
60 }