动态规划求解0/1背包问题

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划求解0/1背包问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

     

问题

给定n种物品和一个背包,物品(1<=i<=n)重量是wI ,其价值vi, 背包容量为C,对每种物品只有两种选择:装入背包和不装入背包,即物品是不可能部分装入,部分不装入。如何选择装入背包的物品,使其价值最大?

想法

该问题是最优化问题,求解此问题一般采用动态规划(dynamic plan),很容易证明该问题满足最优性原理。

动态规划的求解过程分三部分:

一:划分子问题:将原问题划分为若干个子问题,每个子问题对应一个决策阶段,并且子问题之间具有重叠关系

二:确定动态规划函数:根据子问题之间的重叠关系找到子问题满足递推关系式(即动态规划函数),这是动态规划的关键

三:填写表格:设计表格,以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表,实现动态规划过程。

     

思路:

如何定义子问题?0/1背包可以看做是决策一个序列(x1,x2,x3,…,xn,对任何一个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. V(n,C)是将n个物品装入容量为C的背包时背包所获得的的最大价值,显然初始子问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装入容量为j的背包中,这些情况背包价值为0

    V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C

     

接下来考虑原问题的一部分,设V(I,j)表示将前i个物品装入容量为j的背包获得的最大价值,在决策xi时,已经确定了(x1,x2,…,xi-1),则问题处于下列两种情况之一:

  1. 背包容量不足以装入物品i,则装入前i-1个物品的最大价值和装入前i个物品最大价值相同,即xi=0,背包价值没有增加
  2. 背包容量足以装入物品i 如果把物品i装入背包,则背包物品价值等于把前i-1个物品装入容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi;如果第i个物品没有装入背包,则背包价值等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值,显然,取二者最大价值作为把物品i装入容量为j的背包中的最优解,得到如下递推公式

         

为了确定装入背包中的具体物品,从V(n,C)的值向前推,如果VnC>V(n-1,C),

则表明第n个物品被装入背包中,前n-1个物品被装入容量为C-wn的背包中;否则,第n个物品没有被装入背包中,前n-1个物品被装入容量为C的背包中,依次类推,直到确认第一个物品是否被装入背包中

     

代码C++实现

  1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
  2. #include<iostream>
  3. #include<algorithm>
  4. using namespace std;
  5. const int N = 5;
  6. const int Capacity = 20;
  7. int flag[N+1] = { 0 };//物品是否在背包中,下标从1开始算
  8. int V[N+ 1][Capacity + 1] = { 0 }; //造表记录子问题的最优解
  9. int Knapsack(int w[], int v[], int n, int C);//实际物品数目,背包容量
  10. int main()
  11. {
  12.    int w[] = {0,3,2,1,4,5};
  13.    int v[] = { 0,25,20,15,40,50 };
  14.    int n = 5, C = 6;
  15.    int maxValue = Knapsack(w, v, n, C);
  16.    cout << maxValue;
  17.     return 0;
  18. }
  19. int Knapsack(int w[], int v[], int n, int C) {
  20.    for (int i = 0; i <= n; ++i)
  21.       V[i][0] = 0;
  22.    for (int j = 0; j <= C; ++j)
  23.       V[0][j] = 0;
  24.    for(int i=1;i<=n;++i)
  25.       for (int j = 1; j <= C; ++j)
  26.       {
  27.          if (j < w[i])
  28.             V[i][j] = V[i - 1][j];
  29.          else {
  30.             V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
  31.          }
  32.       }
  33.      
  34.    for (int i = n, j = C; i > 0; --i)
  35.    {
  36.       if (V[i][j] > V[i - 1][j])
  37.       {
  38.          flag[i] = 1;
  39.          j -= w[i];
  40.       }
  41.       else
  42.          flag[i] = 0;
  43.    }
  44.    cout << "造表 ";
  45.    for (int i = 0; i <= n; ++ i)
  46.    {
  47.       for (int j = 0; j <= C; ++j)
  48.          cout << V[i][j] << ‘ ‘;
  49.       cout << endl;
  50.    }
  51.      
  52.    for (int i = 1; i <= n; ++i)
  53.       cout << flag[i] << ‘ ‘;
  54.    cout << endl;
  55.    return V[n][C];
  56. }

     

结果如下:

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表格分析如下

   

   

0

1

2

3

4

5

6

flag

   

0

0

0

0

0

0

0

0

   

W1=3,v1=25

1

0

0

0

25

25

25

25

0

W2=2,v2=20

2

0

0

20

25

25

45

45

0

W3=1,v3=15

3

0

15

20

35

40

45

45

1

W4=4,v4=40

4

0

15

20

35

40

55

60

0

W5=5,v5=50

5

0

15

20

35

40

55

65

1

   

   

算法性能分析:

在算法Knapsack中,第一个for循环的时间性能是O(n),第二个for循环的时间性能是O(C),第三个循环是两层嵌套for循环,时间性能是O(n*C),第四个for循环时间性能是O(n);

因此算法时间复杂度O(n*C)

以上是关于动态规划求解0/1背包问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

动态规划-自底向上的 0-1 背包问题

小白学习动态规划:0-1背包

算法分析实验 3. 基于动态规划方法求解0-1背包问题

动态规划中的0-1背包问题怎么去理解?要求给出具体实例和详细步骤。。。

求解0/1背包问题

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