动态规划求解0/1背包问题
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划求解0/1背包问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
问题
给定n种物品和一个背包,物品(1<=i<=n)重量是wI ,其价值vi, 背包容量为C,对每种物品只有两种选择:装入背包和不装入背包,即物品是不可能部分装入,部分不装入。如何选择装入背包的物品,使其价值最大?
想法
该问题是最优化问题,求解此问题一般采用动态规划(dynamic plan),很容易证明该问题满足最优性原理。
动态规划的求解过程分三部分:
一:划分子问题:将原问题划分为若干个子问题,每个子问题对应一个决策阶段,并且子问题之间具有重叠关系
二:确定动态规划函数:根据子问题之间的重叠关系找到子问题满足递推关系式(即动态规划函数),这是动态规划的关键
三:填写表格:设计表格,以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表,实现动态规划过程。
思路:
如何定义子问题?0/1背包可以看做是决策一个序列(x1,x2,x3,…,xn),对任何一个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装入容量为C的背包时背包所获得的的最大价值,显然初始子问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装入容量为j的背包中,这些情况背包价值为0即
V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C
接下来考虑原问题的一部分,设V(I,j)表示将前i个物品装入容量为j的背包获得的最大价值,在决策xi时,已经确定了(x1,x2,…,xi-1),则问题处于下列两种情况之一:
- 背包容量不足以装入物品i,则装入前i-1个物品的最大价值和装入前i个物品最大价值相同,即xi=0,背包价值没有增加
- 背包容量足以装入物品i, 如果把物品i装入背包,则背包物品价值等于把前i-1个物品装入容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi;如果第i个物品没有装入背包,则背包价值等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值,显然,取二者最大价值作为把物品i装入容量为j的背包中的最优解,得到如下递推公式
为了确定装入背包中的具体物品,从V(n,C)的值向前推,如果V(n,C)>V(n-1,C),
则表明第n个物品被装入背包中,前n-1个物品被装入容量为C-wn的背包中;否则,第n个物品没有被装入背包中,前n-1个物品被装入容量为C的背包中,依次类推,直到确认第一个物品是否被装入背包中
代码C++实现
- // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
- #include<iostream>
- #include<algorithm>
- using namespace std;
- const int N = 5;
- const int Capacity = 20;
- int flag[N+1] = { 0 };//物品是否在背包中,下标从1开始算
- int V[N+ 1][Capacity + 1] = { 0 }; //造表记录子问题的最优解
- int Knapsack(int w[], int v[], int n, int C);//实际物品数目,背包容量
- int main()
- {
- int w[] = {0,3,2,1,4,5};
- int v[] = { 0,25,20,15,40,50 };
- int n = 5, C = 6;
- int maxValue = Knapsack(w, v, n, C);
- cout << maxValue;
- return 0;
- }
- int Knapsack(int w[], int v[], int n, int C) {
- for (int i = 0; i <= n; ++i)
- V[i][0] = 0;
- for (int j = 0; j <= C; ++j)
- V[0][j] = 0;
- for(int i=1;i<=n;++i)
- for (int j = 1; j <= C; ++j)
- {
- if (j < w[i])
- V[i][j] = V[i - 1][j];
- else {
- V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
- }
- }
- for (int i = n, j = C; i > 0; --i)
- {
- if (V[i][j] > V[i - 1][j])
- {
- flag[i] = 1;
- j -= w[i];
- }
- else
- flag[i] = 0;
- }
- cout << "造表 ";
- for (int i = 0; i <= n; ++ i)
- {
- for (int j = 0; j <= C; ++j)
- cout << V[i][j] << ‘ ‘;
- cout << endl;
- }
- for (int i = 1; i <= n; ++i)
- cout << flag[i] << ‘ ‘;
- cout << endl;
- return V[n][C];
- }
结果如下:
表格分析如下
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | flag |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
W1=3,v1=25 | 1 | 0 | 0 | 0 | 25 | 25 | 25 | 25 | 0 |
W2=2,v2=20 | 2 | 0 | 0 | 20 | 25 | 25 | 45 | 45 | 0 |
W3=1,v3=15 | 3 | 0 | 15 | 20 | 35 | 40 | 45 | 45 | 1 |
W4=4,v4=40 | 4 | 0 | 15 | 20 | 35 | 40 | 55 | 60 | 0 |
W5=5,v5=50 | 5 | 0 | 15 | 20 | 35 | 40 | 55 | 65 | 1 |
算法性能分析:
在算法Knapsack中,第一个for循环的时间性能是O(n),第二个for循环的时间性能是O(C),第三个循环是两层嵌套for循环,时间性能是O(n*C),第四个for循环时间性能是O(n);
因此算法时间复杂度O(n*C)
以上是关于动态规划求解0/1背包问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章