数组中的逆序对

Posted 2020-11-19 zhibei

题目：在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

解题思路：没扫描到一个数字的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小，如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)个数字作比较，因此这个算法的时间复杂度O(n^2).

 

更快的算法

我们可以考虑比较两个相邻的数字，过程如下图所示：

 

 

如图（a）和图（b）所示，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆分成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7，5）组成一个逆序对，同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6，4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组排序，以免在以后的统计过程中再重复统计。

 

 

注：图中省略了最后一步，即复制第二个子数组最后剩余的4到辅助数组中.（a）P1指向的数字大于P2指向的数字，表明数组中存在的逆序对。P2指向的数字是第二个子数组的第二个数字，因此第二个子数组中有两个数字比7小。把逆序对数目加2，并把7复制到辅助数组，向前移动P1和P3。（b）P1指向的数字小于P2指向的数字，没有逆序对，把P2指向的数字复制到辅助数组，并向前移动P2和P3。（c）P1指向的数字大于P2指向的数字，因此存在逆序对，由于P2指向的数字是第二个子数组的第一个数字，子数组中只有一个数字比5小，把逆序对数目加1，并把5复制到辅助数组，向前移动P1和P3.

统计逆序对的规律：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个排序的过程实际上就是归并排序。

 

两个链表的第一个公共结点

题目：输入两个链表，找出它们的第一个公共结点。链表结点定义如下：

这两个链表是单向链表。如果两个单向链表有公共的结点，那么这两个链表从某一结点开始，他们的m_pNext都指向同一个结点。但由于是单向链表的结点，每一个结点只有一个m_pNext，因此从第一个公共结点开始，之后他们所有结点都是重合的，不可能再出现分叉。所以两个有公共结点而部分重合的链表，拓扑形状看起来像一个Y，而不可能像X.如下图所示：

 

 

分别把两个链表的结点放入两个栈里，这样两个链表的尾结点就位与两个栈的栈顶，接下来比较两个栈顶的结点是否相同。如果相同，则把栈顶弹出接着比较下一个栈顶，直到找到最后一个相同的结点。