数组中的逆序对

Posted lune-qiu

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数组中的逆序对相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目描述

在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007
思路:归并排序,在归并的时候算出逆序对;
//剑指offer答案,写的很明白,看了就会懂
思路分析:
看到这个题目,我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较,因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候,我们不拿ta和后面的每一个数字作比较,否则时间复杂度就是O(n^2),因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
技术分享图片 
(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组;
(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组;
(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ;
(d) 把长度为2的子数组合并、排序,并统计逆序对;
在上图(a)和(b)中,我们先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6,4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组 排序 如上图(c)所示, 以免在以后的统计过程中再重复统计。
接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。
我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾,并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字,则构成逆序对,并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数,如下图(a)和(c)所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字,则不构成逆序对,如图b所示。每一次比较的时候,我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中,确保辅助数组(记为copy) 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后,把对应的指针向前移动一位,接下来进行下一轮比较。
技术分享图片
过程:先把数组分割成子数组,先统计出子数组内部的逆序对的数目,然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中,还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉,我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。
代码:
    long long ans = 0;
    void Sort(vector<int> &data,vector<int>&vec,int low,int high)
    {
        int mid = low+(high-low)/2;
        int id = high;
        int i = mid;
        while( i>=low && high>mid )
        {
            if(data[i] > data[high])
            {
                ans += high-mid;
                vec[id--] = data[i--];
            }
            else if(data[i] < data[high])
                vec[id--] = data[high--];
        }
        while(high > mid)
        {
            vec[id--] = data[high--];
        }
        while(i >= low)
        {
            vec[id--] = data[i--];
        }
    }
    void MergeSort(vector<int> &data,vector<int>&vec,int low,int high)
    {
        if(low == high)
        {
            vec[low] = data[low];
            return;
        }
        int mid = low +(high-low)/2;
        MergeSort(vec,data,low,mid);
        MergeSort(vec,data,mid+1,high);
        Sort(data,vec,low,high);
    }
    int InversePairs(vector<int> data) {
        int len = data.size();
        int high = len-1;
        vector<int> vec;//???
        for(int i = 0; i < len;i++)
            vec.push_back(data[i]);
        MergeSort(data,vec,0,high);
        return ans%1000000007;
    }

我的天这个题折磨了我好久:

错误1:之前写归并的时候就是在sort中申请一个辅助数组,每次结束后把值付给原数组,但是由于空间的关系不能这样。

错误2:上一道题在申请vector数组的时候 vector<int> vec(len); 没有声明vector的长度,不对。这次特意把它写上了,反倒不对了,不知道为什么。

错误3:一定注意MergeSort函数中递归的参数,他们是交叉放的。!!

举个例子:

5 6

7 0   这两个数再执行完Sort是 已经将数组改为了 0  7 我们也想使用这种效果,改变后的数组存在vec 中,

但我们 与5 6 结合数组的时候用的是data比较,这样就出现问题了。

解决办法就是,每次MergeSort都交换它的参数,这样每次返回上一层,用的就是改变后的数组。

待改进:

对1000000007取余,应该使用同余模

以上是关于数组中的逆序对的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

六数组中的逆序对

Java 剑指offer(51)数组中的逆序对

经典算法——数组中的逆序对

35.数组中的逆序对

数组中的逆序对-剑指Offer

剑指offer35:数组中的逆序对