数组中的逆序对

Posted 2020-11-17 lune-qiu

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数组中的逆序对相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。即输出P%1000000007

思路：归并排序，在归并的时候算出逆序对；

//剑指offer答案，写的很明白，看了就会懂

思路分析：

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组排序如上图（c）所示，以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保辅助数组（记为copy）中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

代码：

    long long ans = 0;
    void Sort(vector<int> &data,vector<int>&vec,int low,int high)
    {
        int mid = low+(high-low)/2;
        int id = high;
        int i = mid;
        while( i>=low && high>mid )
        {
            if(data[i] > data[high])
            {
                ans += high-mid;
                vec[id--] = data[i--];
            }
            else if(data[i] < data[high])
                vec[id--] = data[high--];
        }
        while(high > mid)
        {
            vec[id--] = data[high--];
        }
        while(i >= low)
        {
            vec[id--] = data[i--];
        }
    }
    void MergeSort(vector<int> &data,vector<int>&vec,int low,int high)
    {
        if(low == high)
        {
            vec[low] = data[low];
            return;
        }
        int mid = low +(high-low)/2;
        MergeSort(vec,data,low,mid);
        MergeSort(vec,data,mid+1,high);
        Sort(data,vec,low,high);
    }
    int InversePairs(vector<int> data) {
        int len = data.size();
        int high = len-1;
        vector<int> vec;//???
        for(int i = 0; i < len;i++)
            vec.push_back(data[i]);
        MergeSort(data,vec,0,high);
        return ans%1000000007;
    }