HDU 1384 Intervals差分约束-SPFA

Posted 2020-11-19 demian

类型：给出一些形如a−b<=k的不等式（或a−b>=k或a−b<k或a−b>k等），问是否有解【是否有负环】或求差的极值【最短/长路径】。
例子：b−a<=k1，c−b<=k2，c−a<=k3。将a，b，c转换为节点；k1，k2，k3转换为边权；减数指向被减数，形成一个有向图：

由题可得（b−a） + （c−b） <= k1+k2，c−a<=k1+k2。比较k1+k2与k3，其中较小者就是c−a的最大值。
由此我们可以得知求差的最大值，即上限被约束，此时我们拿最小的限制，也就是跑最短路；反之，求差的最小值，下限被约束，我们跑最长路。
跑最短路时：d[v]<=d[u]+w
跑最长路时：d[v]>=d[u]+w
路径中可能会存在负边，用SPFA跑。判断负环，最短最长路均可

题意：

[a,b]区间内有>=c个数，计算集合里至少多个元素

思路：

因为数据范围 0 <= ai <= bi <= 50000，可以设s[i]为i之前元素个数【不含i】,将题意转化为差分约束，s[b+1]-s[a]>=c，防止a-1出界。

求s[end]>=?，求下限，求最长路，注意数组初始化和d数组更新条件

解决不连通有两个方法：

1. 新增特殊点或在区间内以1为单位连通

2.所有点全部入队，并标记

 1 #include <queue>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <iostream>
 5 #include <algorithm>
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int N=50005;
 9 int n,cnt;
10 const int INF=0x3f3f3f3f;
11 int head[N],d[N];
12 bool vis[N];
13 
14 struct e{
15     int to,next,w;
16 }edge[N<<2]; // 有反向边
17 
18 void add(int u,int v,int w){
19     edge[cnt].w=w;edge[cnt].to=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;
20 }
21 
22 void init(){
23     cnt=0;
24     memset(head,-1,sizeof(head));
25 }
26 
27 void SPFA(int s)
28 {
29     memset(d,-INF,sizeof(d));
30     memset(vis,0, sizeof(vis));
31     queue<int> q;
32     q.push(s);
33     d[s]=0;
34     vis[s]=1;
35     while(q.size())
36     {
37         int u = q.front();q.pop();
38         vis[u]=0;
39         for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
40         {
41             int v=edge[i].to;
42             int w=edge[i].w;
43             if(d[v]<d[u]+w)
44             {
45                 d[v]=d[u]+w;
46                 if(!vis[v])
47                 {
48                     q.push(v);
49                     vis[v]=1;
50                 }
51             }
52         }
53     }
54 }
55 
56 
57 int main(){
58     while(scanf("%d",&n)!=EOF) {
59         init();
60         int st = INF, ed = -INF;
61         for (int i = 1; i <= n; i++) {
62             int a, b, c;
63             cin >> a >> b >> c;
64             add(a, b + 1, c);
65             st = min(st, a);
66             ed = max(ed, b + 1);
67         }
68         for (int i = st; i < ed; i++) {
69             add(i, i + 1, 0);
70             add(i + 1, i, -1);
71         }
72         SPFA(st);
73         cout << d[ed] << endl;
74     }
75     return 0;
76 }