使用sympy进行表达式化简

Posted 2023-01-21 3A是个坏同志

符号运算系统最有用的一项特性就是数学表达式的化简。SymPy中有许多能够进行不同类型表达式化简的函数。其中，有一个通用的函数名为simplify，它能够试图以一种智能的方式应用这些化简函数，并最终得到表达式的最简形式。

下面给出一个simplify的例子：

>>> simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)
1
>>> simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
x - 1
>>> simplify(gamma(x)/gamma(x - 2))
(x - 2)*(x - 1)

simplify有一个缺陷，由于表达式“最简化”并没有一个良好的定义，SymPy只能使用库中已有的化简操作，使用启发式方法来决定其认为的“最简化”结果。

举例来说，对于表达式x^2+2x+1，使用simplify函数并不能化简成(x+1)^2

simplify的另外一个缺陷是，由于它要尝试使用不同的化简方法，并选择最佳的那个，这个过程要花费一些时间。如果你事先已经你确定要进行那一种化简，那么直接调用特定的化简函数，这是更佳的方法，能节省一些时间。指定化简函数，而不使用通用的simplify函数还有一个好处，就是可以保证输出的形式。例如，对于`factor`函数，如果施加到有理系数多项式上，那么得到的结果一定是最简因式。而simplify没有这种保证，因为它是完全启发式的，有时会错过可能的化简类型。

何时使用simplify比较好？当你在交互式的环境里，调用simplify函数，想看看它能把表达式化简到什么程度，然后你再选择几个特定的化简函数，看看是否还能再进一步简化。

 

展开表达式

表达式展开是SymPy中最常用的化简操作，对应的函数为expand。 很多数学理论都有展开的概念，我们在这里特指对多项式的展开。

例如：

>>> expand((x + 1)**2)
x**2 + 2*x + 1
>>> expand((x + 2)*(x - 3))
x**2 - x - 6

 

它能为我们完成两件事：展开，合并同类项。

 

因式分解

因式化对应的函数是factor，它能够将一个多项式约成几个最简整式的积的形式，也就是因式分解。

例如：

>>> factor(x**3 - x**2 + x - 1)
(x - 1)*(x**2 + 1)
>>> factor(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)
z*(x + 2*y)**2

factor函数的实现采用了一种完整的有理数多变量因式分解算法，能够保证因式为最简。
使用factor_list函数，能够将因式分解后得到的因式作为一个列表（List）返回。例如：

>>> factor_list(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)
(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])

 

合并同类项

合并同类项对应的函数为collect，能将多项式中同类项合成一项。
例如：

>>> expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
>>> expr
x**3 - x**2*z + 2*x**2 + x*y + x - 3
>>> collected_expr = collect(expr, x)
>>> collected_expr
x**3 + x**2*(-z + 2) + x*(y + 1) - 3

 

分式化简

分式化简函数的名称是cancel，它能化简任何分式函数，并能将其约到最简形式。

下面给出几个例子：

>>> cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x))
(x + 1)/x

>>> expr = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)
>>> expr
(3*x/2 - 2)/(x - 4) + 1/x
>>> cancel(expr)
(3*x**2 - 2*x - 8)/(2*x**2 - 8*x)

>>> expr = (x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)
>>> expr
(x*y**2 - 2*x*y*z + x*z**2 + y**2 - 2*y*z + z**2)/(x**2 - 1)
>>> cancel(expr)
(y**2 - 2*y*z + z**2)/(x - 1)

 

分式裂项

分式裂项函数的名称是apart，它能将一个分式分解为几个分式的和、差。且分解出来的分式，都是最简形式。
例如：

>>> expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
>>> expr
(4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
>>> apart(expr)
(2*x - 1)/(x**2 + x + 1) - 1/(x + 4) + 3/x

 

三角化简

由三角函数组成的表达式，可以使用trigsimp函数来化简。
下面给出三个例子：

>>> trigsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2)
1

>>> trigsimp(sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4)
cos(4*x)/2 + 1/2

>>> trigsimp(sin(x)*tan(x)/sec(x))
sin(x)**2

trigsimp函数也能够化简双曲三角函数：

>>> trigsimp(cosh(x)**2 + sinh(x)**2)
cosh(2*x)

>>> trigsimp(sinh(x)/tanh(x))
cosh(x)

与simplify相似的是，trigsimp对输入的表达式应用多种三角变换公式，使用启发式的方法来返回“最好”的那一个。

 

三角展开

要展开三角函数，可以使用expand_trig函数，它能够使用三角恒等式，将三角表达式展开。

例如：

>>> expand_trig(sin(x + y)) 
sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x)

>>> expand_trig(tan(2*x)) 
2*tan(x)/(-tan(x)**2 + 1) 

 

指数化简

若表达式中存在指数可以化解的情况，可以使用powsimp函数。 指数化简包含合并指数和合并基底两种情况。

例如：

>>> powsimp(x**a*x**b) 
x**(a + b) 

>>> powsimp(x**a*y**a) 
(x*y)**a 

注意，对于示例中的第二条语句（合并基底），要满足一定的条件才能够进行。首先，x，y需为正，且a需为实数。因此，我们在创建symbols的时候，必须指定：

x, y = symbols('x y', positive=True)
a, b = symbols('a b', real=True) 

这样，示例中的语句二才能进行合并基底，否则，将显示原表达式，不做任何处理。

 

指数展开

与上一节的指数化简相对的，是指数展开，同样地，指数展开包含两个部分，指数展开与基底展开。
其中，指数展开对应的函数为expand_power_exp，基底展开对应的函数为expand_power_base。

例如：

>>> expand_power_exp(x**(a + b)) 
x**a*x**b 

>>> expand_power_base((x*y)**a) 
x**a*y**a 

对于语句二，symbols要与上一节中的基底合并满足同样的条件，才能得正确得到结果。

 

化简指数的指数

对于表达式(x**a)**b,含有两层指数，通过使用powdenest函数，能将其简化为一层的结构。

首先，这种化简需要满足下列的条件，才能正确进行：

x = symbols('x', positive=True)

也就是基底x要大于0。

例如：

>>> powdenest((x**a)**b) 
x**(a*b)

 

对数展开

首先要说明一点，在数学中，log和ln是不同的概念，而在SymPy中，两个是等同的，都指自然对数。
对数成立需要满足一定条件，我们与要定义满足条件的变量：

x, y = symbols('x y', positive=True)
n = symbols('n', real=True) 

指数展开函数为expand_log，能够套用指数展开公式来完成展开操作。

例如：

>>> expand_log(log(x*y)) 
log(x) + log(y) 
>>> expand_log(log(x/y)) 
log(x) – log(y) 
>>> expand_log(log(x**2)) 
2*log(x) 
>>> expand_log(log(x**n)) 
n*log(x) 

 

对数合并

与对数展开相对应地，是对数合并操作，函数名称为logcombine。
变量需要满足与上一节中同样的条件。

例如：

>>> logcombine(log(x) + log(y)) 
log(x*y) 

>>> logcombine(n*log(x)) 
log(x**n)