数学常用化简技巧与常用公式运算能力辅导

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数学常用化简技巧与常用公式运算能力辅导相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

















A、代数部分

  • 1、 繁分式化简分式 :

(cfrac{frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}}{frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}}=cfrac{(frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}) imes abc}{(frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}) imes abc}=cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a});同乘

  • 2、分式中负指数幂化为正指数幂:

(cfrac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}=cfrac{(a^x+a^{-x}) imes a^x}{(a^x-a^{-x}) imes a^x}=cfrac{a^{2x}+1}{a^{2x}-1});同乘

  • 3、齐次式变形,为函数求值域,三角函数化简、变形、求值做准备:

(z=cfrac{a+sqrt{2}b}{sqrt{2}a+b});分子分母同除以(b)变形得到,(z=cfrac{frac{a}{b}+sqrt{2}}{sqrt{2}frac{a}{b}+1}xlongequal{t=frac{a}{b}}cfrac{t+sqrt{2}}{sqrt{2}t+1})

(z=cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2});分子分母同除以(b^2)变形得到,(z=cfrac{2(frac{a}{b})^2+4frac{a}{b}-3}{(frac{a}{b})^2+frac{a}{b}+1}xlongequal{t=frac{a}{b}}cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1})

关于(sin heta、cos heta)的一次或二次齐次式

比如:(cfrac{asin heta+bcos heta}{csin heta+dcos heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的一次齐次式]{分子分母同除以cos heta}cfrac{a an heta+b}{c an heta+d}) ((a,b,c,d)为常数);

小结:实现了二元(sin heta、cos heta)向一元(tan heta)的转化;

比如:(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2 heta}cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1})

小结:实现了二元(sin heta、cos heta)向一元(tan heta)的转化;

再比如:(asin2 heta+bcos2 heta=cfrac{asin2 heta+bcos2 heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{a an heta+b-b an^2 heta}{tan^2 heta+1})

其余留作思考:(sin2 heta)(cos2 heta)(1+sin2 heta)(2-cos2 heta)(3sin2 heta-2cos2 heta) 等等

(a^2-5ab+4b^2>0),不等式两端同除以(b^2)变形得到,((cfrac{a}{b})^2-5cfrac{a}{b}+4>0),这样我们能得到(cfrac{a}{b}<1)(cfrac{a}{b}>4);二元变一元

  • 4、除法分配律(分数裂项)

(①cfrac{b+c}{a}=cfrac{b}{a}+cfrac{c}{a})

(②cfrac{a-b}{ab}=cfrac{1}{b}-cfrac{1}{a});(分式变形时常用)

但是她更多的时候表示为整式形式,如(a_n-a_{n+1}=ka_{n+1}a_n)

两边同除以(a_{n+1}a_n),可以变形为(cfrac{1}{a_{n+1}}-cfrac{1}{a_n}=k)

  • 5、分子常数化(化为部分分式,也可以理解为使用了变量集中策略,这样的变形在研究函数的单调性,值域等问题时使用频度比较高)

(①y=cfrac{2x-1}{x-1}=cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+cfrac{1}{x-1})

(②y=cfrac{2x}{x+4}=cfrac{2}{1+frac{4}{x}})

(③y=cfrac{a^x-1}{a^x+1}=cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-cfrac{2}{a^x+1})

(④y=cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+cfrac{1}{x-1})

(hspace{1em}) 引例2、已知函数(f(x)=mlnx+x^2-mx)((1,+∞))上单调递增,求m的取值范围____________.

【分析】由函数单调递增,转化为(f'(x)≥0)((1,+∞))上恒成立,然后分离参数得到(m≤g(x)),用均值不等式求新函数(g(x))的最小值即可。

【解答】由题目可知,(f'(x)≥0)((1,+∞))上恒成立,且(f'(x))不恒为零,

则有(f'(x)=cfrac{m}{x}+2x-m=cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0)((1,+∞))上恒成立,

(2x^2-mx+m≥0)((1,+∞))上恒成立,常规法分离参数得到

m≤(cfrac{2x^2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4)

由于(x>1),故(2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4≥2sqrt{4}+4=8),当且仅当(x=2)时取到等号。

(m≤8),当(m=8)时,函数不是常函数,也满足题意,故(m≤8)

  • 6、分母有理化,常常为数列中的裂项相消法准备:

(cfrac{1}{sqrt{a}+sqrt{b}}=cfrac{1cdot(sqrt{a}-sqrt{b})}{(sqrt{a}+sqrt{b})(sqrt{a}-sqrt{b})}=cfrac{sqrt{a}-sqrt{b}}{a-b})

(cfrac{1}{sqrt{x^2+1}-x}=cfrac{1cdot (sqrt{x^2+1}+x)}{(sqrt{x^2+1}-x)(sqrt{x^2+1}+x)}=sqrt{x^2+1}+x)


【具体应用①】比如函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)),则可知(f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}+x))

(f(x)+f(-x)=ln1=0),即函数(f(x))为奇函数;

那么函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)+1)呢,同理可得,(f(x)+f(-x)=2),即函数(f(x))关于点((0,1))对称。

【具体应用②】比如函数(g(x)=lg(sqrt{sin^2x+1}+sinx)),则可知(g(-x)=lg(sqrt{sin^2x+1}-sinx))

(g(x)+g(-x)=lg1=0),即函数(g(x))为奇函数;

(cfrac{1}{sqrt{x^2+1}+x}=cfrac{1cdot (sqrt{x^2+1}-x)}{(sqrt{x^2+1}-x)(sqrt{x^2+1}+x)}=sqrt{x^2+1}-x)

分子有理化,常常为求函数或数列的极限或大小比较而准备:

(sqrt{a}-sqrt{b}=cfrac{(sqrt{a}-sqrt{b})(sqrt{a}+sqrt{b})}{1cdot (sqrt{a}+sqrt{b})}=cfrac{a-b}{sqrt{a}+sqrt{b}})

(sqrt{n^2+1}-n=cfrac{sqrt{n^2+1}-n}{1}=cfrac{(sqrt{n^2+1}-n)(sqrt{n^2+1}+n)}{1cdot (sqrt{n^2+1}+n)}=cfrac{1}{sqrt{n^2+1}+n})


引例,(b=sqrt{7}-sqrt{3})(c=sqrt{6}-sqrt{2}),比较(b、c)的大小。

分析:(b=sqrt{7}-sqrt{3}=cfrac{sqrt{7}-sqrt{3}}{1}=cfrac{4}{sqrt{7}+sqrt{3}})

(c=sqrt{6}-sqrt{2}=cfrac{sqrt{6}-sqrt{2}}{1}=cfrac{4}{sqrt{6}+sqrt{2}})

由于(sqrt{7}+sqrt{3}>sqrt{6}+sqrt{2}),故(cfrac{4}{sqrt{7}+sqrt{3}}<cfrac{4}{sqrt{6}+sqrt{2}})

(b<c)

  • 7、配方,为二次函数对称轴,圆锥曲线方程等准备:①②③④⑤⑥

(a^2pm ab+b^2=(apm cfrac{b}{2})^2+cfrac{3}{4}b^2);②(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab);(常与韦达定理相关,与解析几何或坐标系与参数方程题目相关)

(x^2+cfrac{1}{x^2}=(x+cfrac{1}{x})^2-2);④(y=ax^2+bx+c=a(x+cfrac{b}{2a})^2+cfrac{4ac-b^2}{4a}(a eq 0))(二次函数对称轴)

(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=cfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]ge 0)(与均值不等式相关,常引申为(a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ac(当且仅当a=b=c时取到等号)))

  • 8、因式分解、乘法公式,常与解方程,解不等式相关:

(a^2-b^2=(a+b)(a-b));②((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)

(a^2pm 2ab+b^2=(apm b)^2);④(a^3pm b^3=(apm b)(a^2mp ab+b^2))

((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3);⑥((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)

实际高三数学教学和考试中的相关内容常常是这样的:

(x^2-5sqrt{2}x+8ge 0),即((x-sqrt{2})(x-4sqrt{2})ge 0)

(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2leq 0),即([x-(m+2)][x-(m-1)]leq 0)

(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)ge 0);即([x-(m-1)][x-(2m+1)]ge 0)

(x^2-(a+a^2)x+a^3leq 0),即((x-a)(x-a^2)leq 0)

(x^2-(a+1)x+aleq 0),即((x-1)(x-a)leq 0)

(x^2-(2a+1)x+a(a+1)leq 0);即((x-1)[x-(a+1)]leq 0)

(cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a eq 1));即((x-2a)[x-(a^2+1)]<0),解集为((2a,a^2+1))

(x^2+(m+4)x+m+3<0),即((x+1)[x+(m+3)]<0)

  • 9、整体代换,常与函数的性质的变换和推导有关,

函数周期性中的变换

①、(f(x+4)=f(x))或者(f(x+2)=f(x-2)Longrightarrow T=4)

②、(f(x+a)=-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0Longrightarrow T=2a;;;;;)

推导:(f(x+2a)=f[(x+a)+a]xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-(-f(x))=f(x)Longrightarrow T=2a)

(f(x+a)=b-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=bLongrightarrow T=2a;;;;;)

推导:(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)Longrightarrow T=2a)

③、(f(x+a)=cfrac{k}{f(x)}(k eq 0)Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k Longrightarrow T=2a);

推导:(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=cfrac{k}{f(x+a)}=cfrac{k}{cfrac{k}{f(x)}}= f(x)Longrightarrow T=2a)

④、(f(x+2)=f(x+1)-f(x)Longrightarrow f(x+3)=-f(x)Longrightarrow T=6)

或者(f(n+2)=f(n+1)-f(n)Longrightarrow f(n+3)=-f(n)Longrightarrow T=6)

函数对称性(函数的奇偶性是对称性的特例)

①、若函数(y=f(x))关于原点((0,0))对称,则(f(-x)=-f(x))(f(x)+f(-x)=0),反之亦成立;

②、若函数(y=f(x))关于直线(x=a)对称(当(a=0)时即关于(y)轴对称),则(f(a+x)=f(a-x)),反之亦成立;

③、若函数(y=f(x))满足(f(a+x)=f(b-x)),函数(y=f(x))的图像关于直线(x=cfrac{a+b}{2})对称,反之亦成立;

④、若函数(y=f(x))图像是关于点(A(a,b))对称,则充要条件是(f(x)+f(2a-x)=2b)抽象函数的性质的验证

函数性质的综合熟练掌握以下的变形和数学思想方法:比如
对称性+奇偶性(Longrightarrow)周期性的变形例子

如,已知函数(f(x))是奇函数,且满足(f(2-x)=f(x))

则由(egin{align*} f(2-x)&=f(x) \\ - f(-x)&= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)Longrightarrow f(2+x)=- f(x)Longrightarrow)周期(T=4)

奇偶性+周期性(Longrightarrow)对称性的变形例子

如,已知函数(f(x))是奇函数,且满足(f(x+4)=-f(x))

则由(egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow)对称轴是(x=2)

对称性+周期性(Longrightarrow)奇偶性的变形例子

如,已知函数(f(x))的周期是2,且满足(f(2+x)=f(-x))

则由(egin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(-x)= f(x)Longrightarrow)函数(f(x))是偶函数。

  • 10、一元二次方程相关,设(ax^2+bx+c=0(a eq 0))的两个根为(x_1,x_2)(Delta=b^2-4ac)

①求根公式:(x_{1,2}=cfrac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}(Delta >0))(|x_1-x_2|=sqrt{(x_1-x_2)^2}=sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=cfrac{sqrt{Delta }}{|a|})

②韦达定理:(egin{cases} x_1+x_2=-cfrac{b}{a} \\ x_1x_2=cfrac{c}{a} end{cases}),如果解关于(x_1,x_2)的二元方程,就可以通过构造方程(x^2+cfrac{b}{a}x+cfrac{c}{a}=0)再解。

③因式分解:(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2))

④【补充】(ax+b=0)对所有(xin R)都成立,则等价于(a=b=0)(am+bn=0)对所有(m,nin R)都成立,则等价于(a=b=0)

(ax^2+bx+c=0)对所有(xin R)都成立,则等价于(a=b=c=0)(am^2+bmn+cn^2=0)对所有(m,nin R)都成立,则等价于(a=b=c=0)

  • 11、三角形的基础知识相关

①三边关系:(a+b>c)(b+c>a)(c+a>b),由这个关系可以推出任意两边之差小于第三边;故只需要记忆一组公式即可。

(n)边形内角和((n-2)cdot 180^{circ})(n)边形外角和:(360^{circ})

(a>b Leftrightarrow A>B);延伸到高中得到(a>b Leftrightarrow A>BLeftrightarrow sinA>sinB Leftrightarrow cosA<cosB)

  • 12、指数、对数的运算

指数对数运算训练

  • 13、恒成立,夹逼定理

点评:①为什么想到赋值(x=2),是注意到((2x)|_{x=2}=(frac{1}{2}x^2+2)|_{x=2}),为了下一步利用夹逼定理。

②注意由(kleq f(x)leq k),夹逼得到(f(x)=k)的结论的使用。

以上是关于数学常用化简技巧与常用公式运算能力辅导的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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