[字符串] kmp与trie与ac自动机的快乐一家人

Posted 2022-12-15 zero_orez6

kmp

kmp算法，主要用于进行字符串之间的模式匹配，也就是判断字符串b是否为a的子串，并支持在线性的时间内找出b在a中的出现次数。

具体实现

讲完主要功能，当然要开始讲如何去实现了。

通常的，判断一个字符串是否为另一个字符串的子串，就是逐字逐字地去判断，若有不相同的字符，就将b字符串整体向后平移一位，再次从头开始判断。

下面介绍kmp算法的主要步骤：

1. 先对母串a进行处理，求出一个数组$next[n]$，其中$next[i]$表示“字符串a 1~i位中后缀能够与前缀匹配的最长长度”（字符串默认从1开始）
2. 然后对字符串a,b进行匹配，求出一个数组f,表示“b中以i结尾的子串”与“a的前缀”所能够匹配的最大长度。

很多同学就要问了，你这求前缀与后缀的最长匹配，不也是$O(n^2)$的吗？博主骗人!!!

下面，我们就主要讨论如何在线性时间内求出next数组。

求出next

朴素的算法当然就是像判断子串那样，一个一个平移判断，$O(n^2)$，就不多讲了。

先对母串a进行自我匹配

1. 先将匹配的下标j，赋初值为0，也就是字符串前一位

2. 再一边枚举a${}_1$数组，一边将j+1位与现在枚举的位数进行匹配，分为以下两种情况：

   若两者相同，则令j++.

   否则令j=next[j]，再次进行判断

3.最后令next[i]=j就行了。

下面解释原理：

• 为什么令j=next[j]???

  因为next数组中存储的是前缀与后缀能够匹配的最长长度,也就是说,假如$next[i]=k$,那么字符串a中$a[1$~$k]$ ==$a[i-k$~$i]$，那么我们将$j$移到$next[j]$，与前next[next[j]]位进行匹配，在前缀匹配上是等价的,只有后面的字符不相同,对后面的字符再次进行判断。

• 为什么相同时令j++???

  因为前缀和后缀又多匹配了一位呀，就是新枚举到的第i位。

• 为什么next[1]=0???

  因为这里说的前缀和后缀的匹配是不平凡匹配，也就是不包括这个串本身，所以第一个字符只有其本身，当然是0了。

附上code

next[0]=-1;
for(int i=1;i<m;i++)
	
		int now=next[i-1];
		while((now!=-1)&&(ss[now+1]!=ss[i])) now=next[now];
		next[i]=now+1;
	

复杂度

在每次while循环中，j的值不断减小，对于$j=next[j]$这一语句的执行次数不会超过for循环开始时的值与while结束时的值的差，在for循环中j的值至多增加1。
综上所述：j的总变化次数不超过$2(n+m)$，忽略掉常数，求出next数组的复杂度约为$O(n+m)$

trie

trie,又被称为字典树，是一种支持字符串快速检索的多叉树结构。

这种树结构的每一个节点都有一个字符指针，当询问或插入一个字符串时，按这个字符串的每一个字符依次向下检索trie树。

初始化

一棵trie在开始时只包含一个根节点，字符指针指向此根节点。

插入

插入一个字符串时，依次遍历该字符串的每一个字符，若在trie树中存在该字符，则使字符指针指向该节点，并沿继续向下检索，否则新建一个节点q，使字符指针指向该节点。

检索

检索操作与插入大致相同，只是在字符指针指向空时，返回0即可。

为便于大家理解，附上草图：

如图是插入cat,car和dog的一棵trie树

附上code:

void add(char* s)//插入操作

	int len=strlen(s),p=1;
	for(int k=0;k<len;k++)
	
		int ch=s[k]-'a';
		if(trie[p][ch]==0) trie[p][ch]=++tot;
		p=trie[p][ch];
	
	end[p]=1;
 
bool ask(char* s)//检索操作

	int len=strlen(s),p=1;
	for(int k=0;k<len;k++)
	
		p=trie[p][s[k]-'a'];
		if(p==0) return 0;
	
	return end[p];
 

值得注意的几点

• 对于插入字符串的每一个字符，他们在trie树中其实是若干条边,也就是所说的指针
• 树的节点上记录一些关于字符串的额外信息，例如上图中存储的是单词末尾的标记，我们还可以根据题目要求改变存储信息。
• 在将char类型与int 类型相互转换时注意题目要求是大写字母，小写字母或是两者都有。

ac自动机

观察题目可得，ac自动机是上面两者结合的产物