算法导论之动态规划 签约棒球自由球员

Posted 2022-12-03 童话的守望者

假设你是一支棒球大联盟球队的总经理。在赛季休季期间，你需要签入一些自由球员。球队老板给你的预算为X美元，你可以使用少于X美元来签入球员，但如果超支，球队老板就会解雇你。

你正在考虑在N个不同位置签入球员，在每个位置上，有P个该位置的自由球员供你选择。由于你不希望任何位置过于臃肿，因此每个位置最多签入一名球员(如果在某个特定位置上你没有签入任何球员，则意味着计划继续使用现有球员)。

为了确定一名球员的价值，你决定使用一种称为“VORP”，或“球员替换价值”的统计评价指标。球员的VORP值越高，其价值越高。但VORP值高的球员签约费用并不一定比VORP值低的球员高，因为还有球员价值之外的因素影响签约费用。

对于每个可选择的自由球员，你知道他的三方面信息：

1.他打哪个位置。2.他的签约费用。3.他的VORP。

设计一个球员选择算法，是的总签约费用不超过X美元，而球员的总VORP最大。你可以假定每位球员的签约费用是10万美元的整数倍。算法应输出签约球员的总VORP值，总签约费用，以及球员名单。分析算法的时间和空间复杂度。

 

问题分析：此题是一规划问题，类似与背包问题，想深入理解这一系列问题的人可以去看看大神讲的背包九讲。

在解决问题的方法论上，总结寻找规律，是最好的一种方法了。如下表：

费用 位置	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
3	0	4	5	5	5	5	5	5	5	5	5
4	3	4	7	7	7	7	7	7	7	7	7
5	5
6	3
7	3
8	0
9	0
10	0
11	1

如果尝试去填写这一张表，大家就会发现其中的规律，也会明白为什么这个题可以用动态规划算法去求解。上表的规律可以总结如下几点：

1.从上到下，从左至右求解

2.求解中有许多重叠的子问题，如单元格（4，30）的求解等于（4，20）与（3，20）与（4，10）的求解。

我们可以从中发现动态规划问题的两大特点：最优子结构与重叠子问题，都是满足的。

#include <iostream>
#define total_pos 10
#define max_money 200
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef struct 

    int cost;
    int vorp;
 player;
int main()

    //输入部分
    int vorp[11][max_money+1]=-1;// 浪费空间，网友可以好好修改下，vorp[i][j]表示前i个位置在j美元限制下最大的vorp；
    player baseball[11][7];  // baseball[i][j]表示第i个位置第j个候选人;
    cout<<"****** cos*******vorp"<<endl;
    for(int i=1;i<=10;i++)
        for(int j=1;j<=6;j++)
    cin>>baseball[i][j].cost>>baseball[i][j].vorp;
    //输入部分结束
    //算法初始化部分
    for(int j=10;j<=max_money;j=j+10)
    
         baseball[1][0].vorp=-1;
        for(int k=1;k<=7;k++)
        if(baseball[1][k].cost<=max_money&&baseball[1][k].vorp>=baseball[1][k-1].vorp)
          
              vorp[1][j]=baseball[1][k].vorp;
          
    
    //算法初始化部分结束
    //递归实现部分
    for(int i=2;i<=10;i++)
        for(int j=10;j<=max_money;j+=10)
        
            baseball[i][0].vorp=-1;
            for(int k=1;k<=6;k++)
        
              if(j-baseball[i][k].cost>0&&baseball[i][k].vorp>=baseball[i][k-1].vorp)
            vorp[i][j]=max(vorp[i][j-10],vorp[i-1][j-baseball[i][k].cost]+baseball[i][k].vorp);
        

        

    //递归实现结束
    cout<<"the result is "<<vorp[10][max_money];
    return 0;