数学家的这些迷惑行为，最后都成了神操作

Posted 2022-09-20 turingbooks

数学不仅仅是数字、图形和符号的游戏，也不仅仅是其他理科的研究辅助。数学就像这个世界的隐藏提纲，数学家就是那些能够看到世界背面的人。

有句鸡汤名言说得好，你的气质里藏着你读的书。到了学界，应该再加上半句，你气质里还藏着你做过的学问。文学评论家文质彬彬，经济学家目光炯炯，地质学家风尘仆仆，但最可爱的是数学家，他们大智若愚。

历史上很多数学家都有过“迷惑行为”。在世人眼中，他们像长不大的顽童，沉溺在奇怪的游戏中。然而，看似莫名其妙的数学游戏往往藏着更深的智慧、更妙的用途。

今天，我们就来看一看这些数学家的故事。

01 数沙子的阿基米德

如果有人问你全世界有多少粒沙子，你会怎么回答？多数人大概会反问：“你很闲吗？”很多人可能没想到，数学家阿基米德就认真思考过这个问题，甚至写了一本专著，就叫《数沙器》——

他估算了如果把沙子一粒挨一粒地排列起来，覆盖一颗罂粟种子需要沙粒的数量；接下来，他又估算了需要有多少罂粟种子才能摆满一根手指宽度，以及一个体育场的一边大概需要用多少手指才能排满……通过这种计量方式，阿基米德建立了一种指数体系和一种记号系统，把它们结合在一起后，就能分类表示那些极其巨大的数了。

阿基米德生活在公元前 200 多年，当时阿拉伯数字还没有出现，人们也没有明确指数的概念。通过这番思考，他为几百年后的数学思想打下了草稿。

也许你仍然想问，数沙子这类问题本身到底有没有意义呢？其实是有的。在科技发达的现代，宇宙学家也在估算宇宙间微粒的数量，看似奇葩的问题恰恰可以帮助我们了解这个世界，了解万物演化，也了解我们自己在苍穹间的位置。当我们谈论人类探索宇宙的历程时，也不妨记住更早之前，阿基米德这份单纯的专注。

02 和胸围较劲的凯特勒

曾经有一位学者收集了数千项和人体有关的测量结果，其中包括 5738 名苏格兰士兵的胸围。如果这位仁兄的专业和医疗保健不沾边，恐怕会有人觉得这事儿可疑。他收集这些数据的理由听起来也不够正经：他想知道这些随机的数字到底是不是真的没规律。

这个人就是为统计学和概率论架起桥梁的比利时数学家凯特勒。

经过一番收集和分析，最后的结果让凯特勒自己也吓了一跳，从胸围到身高，人类自然体征的数据都符合正态分布。在此之前，人们一直以为那只是一条误差曲线，并没有别的意义。在此之后，人们依照凯特勒的思路，对自然界中许多各不相同的对象进行了测量和研究，发现了一个又一个惊喜。

可以说，凯特勒的发现改变了人们看待世界的方式。从前万物就是万物，是一个一个的个体，后来人们知道可测量的对象都藏着优美的数学规律。而这一切，都来源于凯特勒一个看似钻了牛角尖的想法——

“偶然，这是一个神秘，同时被滥用的词。我们常常把‘偶然’当作一个借口来掩盖自己的无知，它成了控制一般人思维中那片抽象领地的幽灵，我们已经习惯把它当作完全独立的实践看待。……给自己足够的时间来抓住自然规律，偶然这个词就会消失不见了！”

03 开启“异世界”的

罗巴切夫斯基和黎曼

几何研究的是图形，图形总在平坦的平面上或者匀称的空间里——这实在是太理所当然了。从欧几里得的时代开始，几千年的时间里，没有人对此提出不同意见。

如果图形所处的平面并不平呢？如果空间扭曲了呢？这些问题听上去毫无意义。为什么要想象这种奇奇怪怪的情况呢？除了传说中的异世界，你要上哪里去找那种平面和空间？

可是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基的几何世界却建立在马鞍状的弯曲表面上，于是三角形的内角和不再等于 180°，经过线外一点的平行线也不再只有一条。背景弯曲扭动，一切都和欧几里得规整坦荡的世界不同。罗巴切夫斯基得到了黎曼的理解和支持。黎曼说：

“（以往的）几何预先假设了空间的概念，并假定了构建空间的基本原理。……那些预先假设之间的关系还不为人所知。我们看不出它们之间的任何联系是否是必然的，或者在多大程度上是必然的，甚至不能预先确定，它们之间是否可能存在联系。”

黎曼还有更开阔的思路：“既然有马鞍上的几何，为什么不能有椭圆上的几何？”放下了欧氏几何的束缚，数学可以打开不止一扇异世界的大门……但这些到底有什么用？关于这个问题，人们似乎一直没有找到满意的回答。

罗巴切夫斯基和黎曼生活在 19 世纪。在 20 世纪，物理学发展进入新的纪元，非欧几何意外地派上了大用场。相对论、引力波、宇宙维度假说……人们重新认识了宇宙。那个更大、更深邃的世界并不像人们以为的那样平坦、均匀、空旷，所谓的“异世界”其实正是我们生活的这个世界，非欧几何正是人们进一步了解世界的最好助手。这样的“峰回路转”连罗巴切夫斯基和黎曼也无法预料。

04 纽结和泰特

人们管理不清的事叫一团乱麻，管心理不适叫疙疙瘩瘩，一般人见了交错纠缠的线团都会皱眉。除了猫，还有谁会对这样那样的结感兴趣呢？

有的数学家却像猫一样，就对纽结感兴趣。他们看着这些凌乱的线团思考：“一个纽结可以变成另一个吗？纽结到底有多少种？”

在 19 世纪，苏格兰数学家泰特展开了一项繁琐而复杂的工作：按照纽结包含交叉的个数给它们分类列表。泰特的这张表一直列到了包含十个交叉的交错纽结。

这项听起来莫名其妙的工作名义上是为了配合物理学家研究“以太打结”原子模型。但这个模型没过多久就被物理学家抛弃了。泰特并没有受到很大的影响，他依然沉浸其中，也照常发表了自己的成果。针对纽结的研究依靠数学家的兴趣延续了下去。

这也是一个数学家本人也想不到结尾的故事。到了 20 世纪，生物学家发现了 DNA 分子的双螺旋结构，这正是一个复杂的纽结。数学家可以根据纽结理论估算解开 DNA 的复杂度，配合生物学家研究相关的生物反应。没过多久，弦理论诞生，物理学家也从纽结理论已有的成果中找到了研究新课题的绝佳工具。

以后，纽结理论是否能够带给人们更多惊喜？我们也无从得知。

05 这些是数学家的故事

更是人类探索世界的故事

数学是自然科学的语言，是人类深入认识世间万物的基础，它似乎理应是实用的。但数学家的探索精神不一定总为功利的任务服务。伟大的数学家对看似奇怪却值得深入的课题有一种独特的捕捉能力，其中包含了纯粹的好奇心、智者的判断力，还有难以言说的直觉。

人们曾经以为，数学的世界里有一些漂亮而无用的小路，不值得理会。事实上所有这些小路都会在一个意想不到的时刻通向更广阔的未来。

这样的故事在历史上还有很多，这就是数学最迷人的地方。数学不仅仅是数字、图形和符号的游戏，也不仅仅是其他理科的研究辅助。数学就像这个世界的隐藏提纲，数学家就是那些能够看到世界背面的人。他们身上还发生了哪些令人意想不到的故事？来这本书里找找看吧！

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《最后的数学问题》

[美] 马里奥·利维奥 著

黄征 译

豆瓣评分 8.6，畅销世界的数学哲学史经典著作。本书讲述了数学概念的演化过程，引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质，揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系，讨论了困惑几代思想家的重大问题，讲述了数学、哲学和物理学巨匠们的生活经历与思想，是一本妙趣横生而又十分经典的数学思想史著作。

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