[USACO10NOV]奶牛的图片Cow Photographs

Posted 2020-11-18 zzh-brim

题目描述

Farmer John希望给他的N(1<=N<=100,000)只奶牛拍照片,这样他就可以向他的朋友炫耀他的奶牛.

这N只奶牛被标号为1..N. 在照相的那一天,奶牛们排成了一排.其中第i个位置上是标号为 ci(1<=ci<=N)c_i(1<=c_i<=N)ci?(1<=ci?<=N) 的奶牛.

对于奶牛的站位,Farmer John有他自己的想法. FJ是这么想的,标号为i(1<=i<=n-1)的奶牛只能站在标号为i+1的奶牛的左边,而标号为N的奶牛只能站在标号为1的奶牛的左边.当然,没有牛可以站在队列中最左边的奶牛的左边了.也就是说,最左边的奶牛编号是随意的.

这些奶牛都非常的饿,急切的希望吃到FJ承诺的在拍照后的大餐,所以FJ想尽快的拍照.奶牛们的方向感非常的不好,所以FJ每一分钟只可以选择相邻的两只奶牛然后让他们交换位置.FJ最小需要多少时间就能使奶牛站成一个可以接受的序列?

比方说一个有5只奶牛的例子,一开始序列是这样的: 左边 右边 3 5 4 2 1

第一分钟,FJ可以交换第二队奶牛(即5和4),交换后的队列: 3 4 5 2 1

第二分钟,FJ交换最右边的一对,序列变成这样: 3 4 5 1 2

这样,只用了2分钟,就是序列变为了一个FJ所希望的序列.

输入输出格式

输入格式：

第1行:一个单独的数N 第2到n+1行:第i+1行上的数表示站在第i的位置上的奶牛的编号(即 cic_ici? ).

输出格式：

一个整数,表示是奶牛的序列变为一个合法的序列的最小花费时间.

输入输出样例

输入样例#1： 

5
3
5
4
2
1

输出样例#1： 

2

提交地址：Luogu4545

众多USACO搜索题中的一股小清流；
刚看题：裸的逆序对淼淼淼淼；
笑容逐渐凝固：woc这没我想的那么简单...
我们的逆序对可以解决从1~n的排列问题， 但是这道题显然不是从1~n的排列；
那怎么办呢？
例如234561的序列， 逆序对个数为5， 这表明我们要换5次，是吗？显然不是， 我们一次都不用换；
那我们该怎样考虑这个问题呢？
我们可以把1想象成7！这样逆序对为0，且满足题意；
再举个例子， 3456721;
原始逆序对为10个；我们把1想象成8， 逆序对为5；
我们把2想象成9，逆序对为1；

意思是，我们从小到大枚举一个数假设它最大， 意思是它就是序列的一个结尾；
那我们怎样快速地求出修改之后的逆序对的数量呢？
显然最小的数产生的逆序对数量等于pos[i]-1， 就是它位置减一；
它成为最大值之后会增加n-pos[i]个新的逆序对；
所以我们可以先求出原先序列的逆序对， 然后枚举最小的数为最大数， 修改逆序对的数量， 然后取min；
代码奉上：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 inline int read()
 7 {
 8     int res=0;bool fl=0;char ch=getchar();
 9     while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘)fl=1;ch=getchar();
10     }while(isdigit(ch)){res=(res<<3)+(res<<1)+(ch-‘0‘);ch=getchar();
11     }return fl?-res:res;
12 }
13 
14 int n;
15 int a[100010];
16 int pos[100010];
17 
18 int t[1000010];
19 inline int lowbit(int x){return x & -x;}
20 
21 inline void add(int x, int y){while(x <= n){t[x]+=y;x+=lowbit(x);}}
22 
23 inline int query(int x){int ans=0;while(x!=0)ans+=t[x], x-=lowbit(x);return ans;}
24 
25 long long ans;
26 long long best;
27 
28 int main()
29 {
30     n = read();
31     for (register int i = 1 ; i <= n ; i ++) a[i] = read(), pos[a[i]] = i;
32     
33     for (register int i = n ; i >= 1 ; i --)
34     {
35         ans += query(a[i] - 1);
36         add(a[i], 1);
37     }
38     
39     best = ans;
40     
41     for (register int i = 1 ; i <= n ; i ++)
42     {
43         best = best - (pos[i] - 1) + (n - pos[i]);
44         ans = min(ans, best);
45     }
46     cout << ans << endl;
47     return 0;
48 }