最小生成树-Prim算法详解(含全部代码)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最小生成树-Prim算法详解(含全部代码)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
目录
适用条件
加权连通图
测试所用图
其中,(a) 为原图,圆圈里面是节点的名称,边上的数字是边的权值。由实线连接的点就是集合U,即生成树在生成过程中加入的点。由虚线连接的点中不包含在集合U中的就是集合V-U,即待加入到生成树的点。虚线的变化就是在每次有节点加入集合U时,V-U中的点更新到集合U的最小权值,也是贪心算法的精髓之处。
算法详解
Prim算法又称为加边法,即每次选择最小权值的边加入到生成树中,然后再更新权值,如此反复,保证每次最优来达到最优解。
所用数据结构
typedef struct closedge
int adjvex; //最小边在集合U(最小边在当前子树顶点集合中的那个顶点的下标)
int lowcost; //最小边上的权值
;
注:算法中所提到的集合U与集合V-U,可以通过lowcost是否为0进行区分,没必要浪费空间。
初始化
顶点数组下标i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
adjvex | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
lowcost | 0 | 6 | 1 | 5 | ∞ | ∞ |
集合U | 0 |
添加第一条边
顶点数组下标i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
adjvex | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 |
lowcost | 0 | 5 | 0 | 5 | 6 | 4 |
集合U | 0,2 |
可以看到,初始化后,顶点2与集合U(顶点0)之间的距离是最小的。所以,添加顶点2至集合U;接下来进行更新,发现原节点1与集合U(顶点0)之间的距离6>现在节点1与集合U(顶点0、2)之间的距离5,所以进行更新。将adjvex更新为节点1与集合U最小距离时的集合U中顶点,lowcost就是选择的边的权值。
以上的话请读者再仔细阅读一遍,并结合测试所用图来考虑标红的其他部分。下面的表不再赘述。
添加第二条边
顶点数组下标i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
adjvex | 0 | 2 | 2 | 5 | 2 | 5 |
lowcost | 0 | 5 | 0 | 2 | 6 | 0 |
集合U | 0,2,5 |
添加第三条边
顶点数组下标i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
adjvex | 0 | 2 | 2 | 3 | 2 | 5 |
lowcost | 0 | 5 | 0 | 0 | 6 | 0 |
集合U | 0,2,5,3 |
添加第四条边
顶点数组下标i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
adjvex | 0 | 1 | 2 | 3 | 1 | 5 |
lowcost | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 |
集合U | 0,2,3,5,1 |
添加第五条边
顶点数组下标i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
adjvex | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
lowcost | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
集合U | 0,2,3,5,1,4 |
Prim算法代码
//最小生成树-Prim算法 参数:图G
void Prim(Graph G)
int v=0;//初始节点
closedge C[MaxVerNum];
int mincost = 0; //记录最小生成树的各边权值之和
//初始化
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
C[i].adjvex = v;
C[i].lowcost = G.Edge[v][i];
cout << "最小生成树的所有边:"<< endl;
//初始化完毕,开始G.vexnum-1次循环
for (int i = 1; i < G.vexnum; i++)
int k;
int min = INF;
//求出与集合U权值最小的点 权值为0的代表在集合U中
for (int j = 0; j<G.vexnum; j++)
if (C[j].lowcost != 0 && C[j].lowcost<min)
min = C[j].lowcost;
k = j;
//输出选择的边并累计权值
cout << "(" << G.Vex[k] << "," << G.Vex[C[k].adjvex]<<") ";
mincost += C[k].lowcost;
//更新最小边
for (int j = 0; j<G.vexnum; j++)
if (C[j].lowcost != 0 && G.Edge[k][j]<C[j].lowcost)
C[j].adjvex = k;
C[j].lowcost= G.Edge[k][j];
cout << "最小生成树权值之和:" << mincost << endl;
全部代码
/*
Project: 图-最小生成树-Prim算法
Date: 2019/11/10
Author: Frank Yu
基本操作函数:
InitGraph(Graph &G) 初始化函数 参数:图G 作用:初始化图的顶点表,邻接矩阵等
InsertNode(Graph &G,VexType v) 插入点函数 参数:图G,顶点v 作用:在图G中插入顶点v,即改变顶点表
InsertEdge(Graph &G,VexType v,VexType w) 插入边函数 参数:图G,某边两端点v和w 作用:在图G两点v,w之间加入边,即改变邻接矩阵
Adjancent(Graph G,VexType v,VexType w) 判断是否存在边(v,w)函数 参数:图G,某边两端点v和w 作用:判断是否存在边(v,w)
BFS(Graph G, int start) 广度遍历函数 参数:图G,开始结点下标start 作用:宽度遍历
DFS(Graph G, int start) 深度遍历函数(递归形式)参数:图G,开始结点下标start 作用:深度遍历
Dijkstra(Graph G, int v) 最短路径 - Dijkstra算法 参数:图G、源点v
功能实现函数:
CreateGraph(Graph &G) 创建图功能实现函数 参数:图G InsertNode 作用:创建图
BFSTraverse(Graph G) 广度遍历功能实现函数 参数:图G 作用:宽度遍历
DFSTraverse(Graph G) 深度遍历功能实现函数 参数:图G 作用:深度遍历
Shortest_Dijkstra(Graph &G) 调用最短路径-Dijkstra算法 参数:图G、源点v
Prim(Graph G) 最小生成树-Prim算法 参数:图G
*/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<set>
#include<list>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<iterator>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define MaxVerNum 100 //顶点最大数目值
#define VexType char //顶点数据类型
#define EdgeType int //边数据类型,无向图时邻接矩阵对称,有权值时表示权值,没有时1连0不连
#define INF 0x3f3f3f3f//作为最大值
using namespace std;
//图的数据结构
typedef struct Graph
VexType Vex[MaxVerNum];//顶点表
EdgeType Edge[MaxVerNum][MaxVerNum];//边表
int vexnum, arcnum;//顶点数、边数
Graph;
//迪杰斯特拉算法全局变量
bool S[MaxVerNum]; //顶点集
int D[MaxVerNum]; //到各个顶点的最短路径
int Pr[MaxVerNum]; //记录前驱
//Prim算法所用数据结构
typedef struct closedge
int adjvex; //最小边在集合U(最小边在当前子树顶点集合中的那个顶点的下标)
int lowcost; //最小边上的权值
;
//*********************************************基本操作函数*****************************************//
//初始化函数 参数:图G 作用:初始化图的顶点表,邻接矩阵等
void InitGraph(Graph &G)
memset(G.Vex, '#', sizeof(G.Vex));//初始化顶点表
//初始化边表
for (int i = 0; i < MaxVerNum; i++)
for (int j = 0; j < MaxVerNum; j++)
G.Edge[i][j] = INF;
if (i == j)G.Edge[i][j] = 0;//在最小生成树时,考虑无环简单图,故自己到自己设置为0
G.arcnum = G.vexnum = 0; //初始化顶点数、边数
//插入点函数 参数:图G,顶点v 作用:在图G中插入顶点v,即改变顶点表
bool InsertNode(Graph &G, VexType v)
if (G.vexnum < MaxVerNum)
G.Vex[G.vexnum++] = v;
return true;
return false;
//插入边函数 参数:图G,某边两端点v和w 作用:在图G两点v,w之间加入边,即改变邻接矩阵
bool InsertEdge(Graph &G, VexType v, VexType w, int weight)
int p1, p2;//v,w两点下标
p1 = p2 = -1;//初始化
for (int i = 0; i<G.vexnum; i++)//寻找顶点下标
if (G.Vex[i] == v)p1 = i;
if (G.Vex[i] == w)p2 = i;
if (-1 != p1&&-1 != p2)//两点均可在图中找到
G.Edge[p1][p2] = G.Edge[p2][p1] = weight;//无向图邻接矩阵对称
G.arcnum++;
return true;
return false;
//判断是否存在边(v,w)函数 参数:图G,某边两端点v和w 作用:判断是否存在边(v,w)
bool Adjancent(Graph G, VexType v, VexType w)
int p1, p2;//v,w两点下标
p1 = p2 = -1;//初始化
for (int i = 0; i<G.vexnum; i++)//寻找顶点下标
if (G.Vex[i] == v)p1 = i;
if (G.Vex[i] == w)p2 = i;
if (-1 != p1&&-1 != p2)//两点均可在图中找到
if (G.Edge[p1][p2] == 1)//存在边
return true;
return false;
return false;
bool visited[MaxVerNum];//访问标记数组,用于遍历时的标记
//广度遍历函数 参数:图G,开始结点下标start 作用:宽度遍历
void BFS(Graph G, int start)
queue<int> Q;//辅助队列
cout << G.Vex[start];//访问结点
visited[start] = true;
Q.push(start);//入队
while (!Q.empty())//队列非空
int v = Q.front();//得到队头元素
Q.pop();//出队
for (int j = 0; j<G.vexnum; j++)//邻接点
if (G.Edge[v][j] <INF && !visited[j])//是邻接点且未访问
cout << "->";
cout << G.Vex[j];//访问结点
visited[j] = true;
Q.push(j);//入队
//while
cout << endl;
//深度遍历函数(递归形式)参数:图G,开始结点下标start 作用:深度遍历
void DFS(Graph G, int start)
cout << G.Vex[start];//访问
visited[start] = true;
for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
if (G.Edge[start][j] < INF && !visited[j])//是邻接点且未访问
cout << "->";
DFS(G, j);//递归深度遍历
//最短路径 - Dijkstra算法 参数:图G、源点v
void Dijkstra(Graph G, int v)
//初始化
int n = G.vexnum;//n为图的顶点个数
for (int i = 0; i < n; i++)
S[i] = false;
D[i] = G.Edge[v][i];
if (D[i] < INF)Pr[i] = v; //v与i连接,v为前驱
else Pr[i] = -1;
S[v] = true;
D[v] = 0;
//初始化结束,求最短路径,并加入S集
for (int i = 1; i < n; i++)
int min = INF;
int temp;
for (int w = 0; w < n; w++)
if (!S[w] && D[w] < min) //某点temp未加入s集,且为当前最短路径
temp = w;
min = D[w];
S[temp] = true;
//更新从源点出发至其余点的最短路径 通过temp
for (int w = 0; w < n; w++)
if (!S[w] && D[temp] + G.Edge[temp][w] < D[w])
D[w] = D[temp] + G.Edge[temp][w];
Pr[w] = temp;
//输出最短路径
void Path(Graph G, int v)
if (Pr[v] == -1)
return;
Path(G, Pr[v]);
cout << G.Vex[Pr[v]] << "->";
//**********************************************功能实现函数*****************************************//
//打印图的顶点表
void PrintVex(Graph G)
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
cout << G.Vex[i] << " ";
cout << endl;
//打印图的边矩阵
void PrintEdge(Graph G)
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
if (G.Edge[i][j] == INF)cout << "∞ ";
else cout << G.Edge[i][j] << " ";
cout << endl;
//创建图功能实现函数 参数:图G InsertNode 作用:创建图
void CreateGraph(Graph &G)
VexType v, w;
int vn, an;//顶点数,边数
cout << "请输入顶点数目:" << endl;
cin >> vn;
cout << "请输入边数目:" << endl;
cin >> an;
cout << "请输入所有顶点名称:" << endl;
for (int i = 0; i<vn; i++)
cin >> v;
if (InsertNode(G, v)) continue;//插入点
else
cout << "输入错误!" << endl; break;
cout << "请输入所有边(每行输入边连接的两个顶点及权值):" << endl;
for (int j = 0; j<an; j++)
int weight;
cin >> v >> w >> weight;
if (InsertEdge(G, v, w, weight)) continue;//插入边
else
cout << "输入错误!" << endl; break;
PrintVex(G);
PrintEdge(G);
//广度遍历功能实现函数 参数:图G 作用:宽度遍历
void BFSTraverse(Graph G)
for (int i = 0; i<MaxVerNum; i++)//初始化访问标记数组
visited[i] = false;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//对每个连通分量进行遍历
if (!visited[i])BFS(G, i);
//深度遍历功能实现函数 参数:图G 作用:深度遍历
void DFSTraverse(Graph G)
for (int i = 0; i<MaxVerNum; i++)//初始化访问标记数组
visited[i] = false;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)//对每个连通分量进行遍历
if (!visited[i])
DFS(G, i); cout << endl;
//调用最短路径-Dijkstra算法 参数:图G、源点v
void Shortest_Dijkstra(Graph &G)
char vname;
int v = -1;
cout << "请输入源点名称:" << endl;
cin >> vname;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
if (G.Vex[i] == vname)v = i;
if (v == -1)
cout << "没有找到输入点!" << endl;
return;
Dijkstra(G, v);
cout << "目标点" << "\\t" << "最短路径值" << "\\t" << "最短路径" << endl;
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
if (i != v)
cout << " " << G.Vex[i] << "\\t" << " " << D[i] << "\\t";
Path(G, i);
cout << G.Vex[i] << endl;
//最小生成树-Prim算法 参数:图G
void Prim(Graph G)
int v=0;//初始节点
closedge C[MaxVerNum];
int mincost = 0; //记录最小生成树的各边权值之和
//初始化
for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
C[i].adjvex = v;
C[i].lowcost = G.Edge[v][i];
cout << "最小生成树的所有边:"<< endl;
//初始化完毕,开始G.vexnum-1次循环
for (int i = 1; i < G.vexnum; i++)
int k;
int min = INF;
//求出与集合U权值最小的点 权值为0的代表在集合U中
for (int j = 0; j<G.vexnum; j++)
if (C[j].lowcost != 0 && C[j].lowcost<min)
min = C[j].lowcost;
k = j;
//输出选择的边并累计权值
cout << "(" << G.Vex[k] << "," << G.Vex[C[k].adjvex]<<") ";
mincost += C[k].lowcost;
//更新最小边
for (int j = 0; j<G.vexnum; j++)
if (C[j].lowcost != 0 && G.Edge[k][j]<C[j].lowcost)
C[j].adjvex = k;
C[j].lowcost= G.Edge[k][j];
cout << "最小生成树权值之和:" << mincost << endl;
//菜单
void menu()
cout << "************1.创建图 2.广度遍历******************" << endl;
cout << "************3.深度遍历 4.迪杰斯特拉****************" << endl;
cout << "************5.最小生成树(Prim) 6.退出 ****************" << endl;
//主函数
int main()
int choice = 0;
Graph G;
InitGraph(G);
while (1)
menu();
printf("请输入菜单序号:\\n");
scanf("%d", &choice);
if (6 == choice) break;
switch (choice)
case 1:CreateGraph(G); break;
case 2:BFSTraverse(G); break;
case 3:DFSTraverse(G); break;
case 4:Shortest_Dijkstra(G); break;
case 5:Prim(G); break;
default:printf("输入错误!!!\\n"); break;
return 0;
实验结果
与kruskal算法的对比在这篇文章中:最小生成树-Kruskal算法详解(含全部代码)
更多数据结构与算法实现:数据结构(严蔚敏版)与算法的实现(含全部代码)
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