[最小生成树] aw3728. 城市通电(最小生成树+prim算法求具体方案+超级源点+aw周赛005_3)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：3728. 城市通电

模板：[图+最小生成树+模板] 三大最小生成树常用模板

相似题：1145. 北极通讯网络

2. 题目解析

好题。

最小生成树的题型不多，在此是超级源点的应用。

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思路：

• 发电站和电线抽象为一张无向图，电线就是将两点相连。
• 那么最终应该是将整张图分成了一个个连通块，每个连通块中有一个点建立成为发电站。
• 考虑新建一个超级源点，所有的发电站都直接连向超级源点。
• 起初，所有的点都与这个超级源点相连，在某点建立发电站就相当于选择保留超级源点到该点的这条边。
• 最终，在整个图中选择若干边，使得整张图连通。其中与超级源点直接相连的点就是发电站需要建立在该点上。
• 故，问题转化为最小生成树问题中的超级源点的应用。

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细节：

• 本题是稠密图，给了 n 个点，建图时需要将任意两点都需要连一条边。 故采用 prim() 算法会好点，$O(n^2)$。如果采用 kruskal 算法的话，时间复杂度偏高，$O(mlogn)$，其中 $m^2=n$，那么就是 $O(n^{2}logn)$ 的时间了。所以针对稠密图来讲，时间使用 prim 是最优选择，同理，稠密图的最短路算法，使用 dijkstra() 算法也是更好的选择。
• 2000 个点，最多 2000 条边，花费可能爆 int，需要使用 long long 来存答案。

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注意用 long long。

这个知识点，还没学过，但也马上就要学了。有个类似的题 1145. 北极通讯网络 但是没做过，还没学到。

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时间复杂度：$O(nlogx)$

空间复杂度：$O(n)$

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// 类似题 1145. 北极通讯网络
// Kruskal 需要建图，任意两点之间连边，在此不太适用，日后补吧，反正也忘了
#include <bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 2005;

int n;
PII q[N];           // 存所有点
int wc[N], wk[N];   // 权值
LL dist[N];         // 存点到集合的距离，曼哈顿距离*k 会爆 int
int distp[N];       // 存方案，当前点连向连通块中的点编号
bool st[N];
vector<int> res1;   // 存直接与超级源点相连的点，即为发电站
vector<PII> res2;   // 最小生成树中的边，两点相连


// 求两点之间的距离
LL get_dist(int a, int b) {
    int dx = q[a].x - q[b].x;
    int dy = q[a].y - q[b].y;

    return (LL)(abs(dx) + abs(dy)) * (wk[a] + wk[b]);
}

// 求最小生成树，返回最少花费
LL prim() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);    // 可以省略，超级源点的初始化会对该数组重新赋值

    dist[0] = 0, st[0] = true;          // 超级源点初始化
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) dist[i] = wc[i];  // 在此，dist[i] 不必用 LL，memset 0x3f 也不需要，会被覆盖掉

    LL res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) 
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))       // 找到距离集合最近的点 t
                 t = j;     

        st[t] = true;                                           // 将该点选入最小生成树中
        res += dist[t];                                         // 答案累加该边到集合的长度

        if (!distp[t]) res1.push_back(t);                       // 如果 t 直接连向超级源点，则 t 为发电站
        else res2.push_back({distp[t], t});                     // 否则，t 连向普通点

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {                        // 用 t 更新其余点到集合的距离
            if (!st[j] && dist[j] > get_dist(t, j)) {           // 这里是到集合的距离，与 dijkstra() 的最重要区别
                dist[j] = get_dist(t, j);                       // t 更新 j
                distp[j] = t;                                   // j 这个点由 t 来更新
            }
        }
    }

    return res;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &q[i].x, &q[i].y);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &wc[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &wk[i]);

    LL res = prim();
    printf("%lld\\n", res);
    printf("%d\\n", res1.size());
    for (auto e : res1) printf("%d ", e);
    puts("");
    printf("%d\\n", res2.size());
    for (auto e :  res2) printf("%d %d\\n", e.x, e.y);

    return 0;
}