数字信号处理相关函数 ( 功率信号 | 功率信号的互相关函数 | 功率信号的自相关函数 )

Posted 2022-03-04 韩曙亮

文章目录

• 一、功率信号的互相关函数
• 二、功率信号的自相关函数

信号根据 " 能量 " 可以分为 " 能量信号 " 和 " 功率信号 " ;

• 信号能量定义 : 整个轴上的能量先进行平方 , 然后求积分 ; 如果 能量 小于 无穷 , 则该信号 是 能量信号 ; 有限区间内的信号称为能量信号 ;

• 信号功率定义 : 在一个信号周期内 , 进行积分求和操作 ; 如果 功率 小于 无穷 , 则该信号 是 功率信号 ; 周期信号 , 随机信号 是功率信号 ;

本篇博客中的 互相关函数 和 自相关函数 , 都是 " 功率信号 " 的 相关函数 ;

功率信号是能量无穷的信号 , 无法计算出能量值 , 这里只计算一个周期内的能量值 ;

一、功率信号的互相关函数

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功率信号的 互相关函数 表示的是 两个不同的信号 之间的相关性 ;

$x(n)$ 与 $y(n)$ 的 " 互相关函数 " 如下 ,

$$r_{xy}(m)=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^{+N}{x}^{\ast }(n)y(n+m)$$

取一个周期中的序列元素 , 求 相关函数 值 , 然后取平均值 ;

其中 $y(n)$ 进行了移位 , 向左移动了 $m$ 单位 ,

该 " 互相关函数 " 求的是 $y(n)$ 移位 $m$ 后的序列 与 $x(n)$ 序列之间的关系 ;

注意这里的 $n$ 表示的是时刻 , $m$ 表示的是信号移动的间隔 ;

该 " 互相关函数 " 表示的是 $x(n)$ 信号 , 与 隔了 $m$ 时间后的 $y(n)$ 信号之间的关系 ;

这 $2$ 个信号 ( 序列 ) 之间 " 关系 " 是一个 函数 , 函数的自变量是 $m$ 间隔 , 不是 $n$ ;

二、功率信号的自相关函数

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功率信号的 自相关函数 ( Autocorrelation Function ) :

$$r_x(m)=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^{+N}{x}^{\ast }(n)x(n+m)$$

取一个周期中的序列元素 , 求 相关函数 值 , 然后取平均值 ;

" 自相关函数 " 是 " 自己信号 " 与 " 隔一段时间后的 自己信号 " 之间的 相关性 ;

如果 $m=0$ 时 , " 自己信号 " 与 " 隔一段时间 $m$ 后的自己信号 " 完全相等 , 该值就是 信号的能量 ;

$$r_x(0)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n){|}^2=E$$