证明用于查找最小生成树的贪婪算法肯定会停止

Posted 2021-05-05

这是一种在连接的UN指向图G =（V，E）中查找最小生成树的算法：

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1. 初始化：B =∅ - 将由算法构建的边缘组
2. 而| B | <| V | - 1做： 一个。选择图中的一些切割（S，V S），其中没有边缘e属于跨越它的B。 湾找到最轻的边缘交叉。 C。将其添加到组B. B =B∪{e}。
3. 返回T =（V，B）

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切割的含义在附图中描述：Cut's meaning顶点s，u在一个组中我们可以称为S.

所有其他顶点都在V S组中。

所以这就是（S，V S）作为切割的意思。另外 - 边缘（u，w）是交叉边缘 （u，v）是特定切口中最轻的交叉边缘。 （s，u）不是“交叉”边缘

我需要证明算法最终会停止。那| B | = | V | - 在某一点上1。

我可以在证明中使用以下说法：

'在算法的任何一点，都存在G的最小生成树T =（V，Et），它包含算法选择的边缘B组。

假设我已经证明了这一点，我需要以某种方式表明在图中总是有一些切口，他的交叉边缘都没有被添加到B中。 while | B | <| V | -1。但我不知道该怎么做

答案

让我们假设没有这样的切割和| B | <| V | - 1.当树连接时，这意味着所有顶点都通过B中的某个边连接（因为如果没有连接顶点，将会有一个切口，其中没有边缘属于B，将该顶点和生成树分开）

作为，| V |顶点至少需要| V | - 要连接1个边，我们推断| B | > = | V | - 1，因此与我们的假设相矛盾。

因此证实。

另一答案

这个算法的任何部分都不能永远循环。步骤2循环的每次迭代都增加| B |由1. | B |将在| V | -1次迭代中达到| V | -1，此时循环终止。

如果您担心步骤2a不可能，则必须断开G的（V，B）子图，因为它没有足够的边连接。我们总是可以将一些连接组件放在切口的一侧，而另一侧放在另一侧。 （即使步骤2a在某些时候是不可能的，这听起来并不像非终止条件。）