Luogu P2261 [CQOI2007]余数求和

Posted 2020-11-17 cjjsb

最近中考放假几天都在怼一道BJOI2018的水题，但卡死在90pts跑不动啊！

然后今天发现终于过了然而Hack的数据全RE了然后就开始找新的题目来找回信心。

然后发现智能推荐里有这道题，然后想了1min才想到CQOI到底是哪里的原来是重庆呵

其实还是一道比较好的除法分块的入门题。动一下脑子就可以做了。

我们先观察一下最基础的式子：

(sum_{i=1}^n k mod i)

然后我们利用取余的基本性质，即(k mod i=k-ilfloorfrac{k}{i} floor)，把原式化为：

(sum_{i=1}^n k-ilfloorfrac{k}{i} floor)，然后把k提取出来，即有(nk-sum_{i=1}^n ilfloorfrac{k}{i} floor)

然后我们考虑如何求解(sum_{i=1}^n ilfloorfrac{k}{i} floor)，而求它的关键就在于这个(lfloorfrac{k}{i} floor)

我们令(t=lfloorfrac{k}{i} floor)，然后我们通过样例(k=5)的情况来观察一下规律：

(i)	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)
(t)	(5)	(2)	(1)	(1)	(1)	(0)	(0)	(0)	(0)	(0)

手玩找规律一下可以发现一个显然的性质：所有的(t)都是连续的一段

然后我们考虑把所有相同的(t)都一起计算，这样我们可以估计它的复杂度大约为(O(sqrt n))

然后我们令我们当前处理的区间左端为(l)，然后我们想一下如何推出(r)然后我们继续手玩发现

• 当(t=0)时，(r=0)
• 当(t e 0)时，(r=min(n,lfloorfrac{k}{t} floor))

然后这样我们下一次操作只要使(l=r+1)即可

然后对于每一块内，我们计算它们的和：

(sum=frac{tcdot (r-l+1)cdot (l+r)}{2})

然后我们就做下去即可附上超级精简CODE

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,k,t,ans,l,r;
inline int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k); ans=n*k;
    for (l=1;l<=n;l=r+1)
    t=k/l,r=t?min(n,k/t):n,ans-=t*(r-l+1)*(l+r)>>1;
    printf("%lld",ans);
}