总结与心得（持续更新）

Posted 2020-09-10

不知道为什么，刚学的算法过了2个月就忘得一干二净，我并没有背代码啊，当时学的时候还刷了好多题来着→_→，我是不是大脑能力严重衰退了。

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动态规划

单调队列

　　一般情况下，${dp}$方程可以搞成这样：${f_i=f_j+t_j+t_i}$，只要其中没有变量同时与${i,j}$都有关，那么我们可以用单调队列来做，单调队列里面元素的关键字就是与${j}$有关的东西${f_j+t_j}$。example：生产产品

　　有些比较特殊的，虽然存在同时与${i,j}$相关的函数，但是这个函数比较简单，使得已经存在在单调队列中元素的相对位置不会因此改变，这样的话我们可以打一个全局标记来处理。example：瑰丽的华尔兹

　　还有一些比较奇葩的，这已经不属于单调队列优化dp的范畴了。example：cut the sequence

斜率优化

　　想当年我还写过学习笔记，现在毛都不记得了T_T，斜率优化学习笔记。反正套路都差不多，不过我还是更喜欢从函数的角度去理解斜率优化。

　　斜率单调。example：特别行动队

　　斜率不单调。example：购票

　　横坐标不单调。example：货币兑换

状压dp

　　插头。插头还是挺简单的，就是一个板子，随着题目的变化稍微修改一下就好。example：Tony‘s Tour

　　容斥套着，到了考场也不知道会不会做 ╮(╯_╰)╭。example：局部极小值

数位dp

　　写成记忆化搜索的形式会好很多，注意该开LL的时候开LL。example：Balanced Number

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树

prufer

　　prufer序列中每个数出现的次数就是它在树中的度数-1。example：明明的烦恼

　　经常用来做树的计数一类dp。

树分治

　　点分治。关键是对答案的统计用什么算法和数据结构进行处理。example：Tree

　　有的时候，一定要小心的就是扫把型的树，如果不对子树进行排序，很容易就会被卡掉。example：重建计划

　　动态树分治。没什么好说的，也许我没做过什么题。example：开店

　　树上CDQ。example：购票

树链剖分　　

　　树链剖分的性质（一个点到根节点的路径上的轻变不超过$log$条）可能有些奇技淫巧。

　　最简单的维护树上路径修改查询。example：软件包管理器

　　dsu on tree。其实就是树链剖分维护启发式合并，在某些情况下特别好写= =。example：天天爱跑步

　　长链剖分维护合并跟深度有关的信息。复杂度证明：每次合并的次数是这个节点连出的轻边的点所在的重链的大小，那么每条重链最多只会被记录一次，所以总合并次数是$O(n)$。听说还能$O(n)$求lca。example：坑着

虚树

　　虚树就是只含有查询点以及它们lca的点的树，往往与树形dp一同食用。虚树的题目往往其询问点的总数不会超过某个值，必须要满足在虚树上dp可以降低复杂度。教程？

　　example：世界树

Link Cut Tree

　　link的实质是找到父亲，cut时换根是为了搞清楚两点之间的父子关系。带边权的换成点。example：魔法森林

　　LCT维护可加减子树信息，如果不是可加减的就只能toptree了。注意在轻重边替换的时候同时更新信息。example：共价大爷游长沙

　　ntr的妙用= =。example：CC某题

　　一类问题的通用解法，分类维护前缀信息和后缀信息。example：城市旅行

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数据结构

KDtree

　　能不写最好还是不要写吧，轻松被卡→_→，也许可以出奇制胜？如果要写，重新构树是个不错的选择。发现大数据跑不过，多半是剪枝挂了。

　　平面上最近（最远）点对。example：SJY摆棋子

　　范围内点权查询，暴力重构。example：简单题

　　神应用，怒艹一类数据结构题。example：A simple rmq problem

Splay

　　扣区间$[l,r]$的时候，把$l+1$Splay到根，$r+1$Splay到根的右儿子，然而加了“哨兵”，实际上是$l$和$r$。

　　rotate和Splay记得要加取地址符。

　　对区间操作完后记得pushup父亲和根，pushup的时候size记得+1啊啊啊。

　　example：维护数列

ST表

　　好像没什么好说的，一些细节想清楚就好了= =。example：超级钢琴

treap

　　比Splay好写一些树套树方便一些可以持久化。思想还是蛮简单的，随机一个权值保证logn的期望树高。

　　非旋转版现在还策不清，如果真的考了可持久化treap那我还是早早弃疗吧=  =。example：普通平衡树

分块

　　通常用来优化暴力。

　　树上分块。example：王室联邦

　　权值分块。example：dispatching

　　优化暴力。example：最小公倍数

　　数据有一些特色的，可以分两类：$ > \\sqrt{n}$和$ < \\sqrt{n}$，分别处理与复杂度分析，然后基本不等式搞一搞取最优块大小。好像没有什么好的例子。。example：普通计算姬

可并堆

　　好写好调好理解，代码简短。example：disoatching

链表

　　双向链表大法好。example：营业额统计

启发式合并

　　把size小的往size大的里面丢，合并次数$logn$。example：森林

　　貌似写过的启发式合并都是直接set了=。=

树套树

　　二维线段树。example：魔幻棋盘

　　线段树套treap。example：二逼平衡树

树状数组

　　区间修改。example：poj某题

线段树

　　呵呵，线段树上各种耍杂技=  =。

　　维护连通性。example：堵塞的交通

　　扫描线结合。example：Picture

　　二维线段树。单点修改矩形查询，example：魔幻棋盘；矩形修改单点查询；可以直接标记可持久化，example：树状数组

　　蜜汁思路。example：基础数据结构练习题

　　线段树合并。example：CF 666E

　　超哥线段树。example：robot

　　区间取最值操作。example：hdu某题

　　历史最值查询。example：CPU监控

　　还有个劲(j)爆(b)玩意儿现在都还不懂。example：CF某题

主席树

　　ntr的妙用=  =。example：CC某题

　　优化网络流连边。example：a+b problem

　　可持久化数组。example：可持久化并查集

　　树状数组套主席树。其实是树状数组套权值线段树=  =。

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数学

BSGS

　　用来求解$a^x=b~(mod~p)$，所谓大步小步。可能出现无解的情况。example：板子题

多项式乘法

　　注意数组大小，以及最后除一个$n$。循环卷积注意细节变动。转成整型的时候不要爆了int。板子一套：多项式乘法

　　求解字符串匹配问题。example：万径人踪灭

　　预处理$ω$加强精度，任意模数FFT，倍增优化dp。所谓倍增优化，就是$f_i$可以由$f_x$和$f_y$推过来（$x+y=i$）。example：CF某题

　　离散对数NTT，循环卷积，求解原根，倍增优化dp。

　　所谓循环卷积，就是在DFT回来统计答案的时候，除了加上对应位置$x$上的卷积结果，还要再加上$x+m-1$位置上的卷积结果。example：序列统计

博弈论

　　当前局面的SG等于后继状态的SG的$mex$，当前游戏的SG等于各个子游戏的SG状态的$xor$。大都是脑洞题，考场上只能看人品了。。

　　求解SG函数。example：江南乐

　　暴力求解SG，找规律。example：S-NIM

高斯消元

　　模意义高斯消元，其实就是除的时候乘个逆元。example：SETI

　　线性基相关。example：XOR

　　线性基性质。线性基中每一个可以被异或出来的元素的异或方案数相同（包括0）。example：albus就是要第一个出场

　　动态构造线性基。example：元素

数学相关dp和组合计数

　　多推推式子转化一下问题，从不可做变成可做。组合数公式的话大概用格点法推一推？$\\displaystyle \\binum{n}{m}$表示从$(0,0)$走到$(n-m,m)$的方案。

　　dp期望或者dp概率通过概率算期望。example：亚瑟王

　　精度要求不高的，可以估算一下计算的次数。example：CF坦克大战

　　异或相关dp的正确AC姿势，虽然没有什么普适性。example：Lights

　　二进制相关dp的正确AC姿势。一般先考虑排列方案最后再除个阶乘会好很多。转移的时候考虑到相等的情况，需要容斥一发。example：facer‘s chocolate dream

莫比乌斯反演

　　$mu[i]$，如果i的某个质因子指数大于$1$，$mu[i]=0$；否则，$mu[i]=(-1)^{i的质因子个数}$

　　推式子的时候一定要小心，把一些东西提前的时候不要忘记乘或者除了个什么东西。

　　$\\lfloor n/i \\rfloor$，取值相同的$i$的范围为$[i,n/(\\lfloor n/i \\rfloor)]$。

　　用来容斥，很棒棒哦。example：完全平方数

　　约数个数有一个比较经典的式子。example：约数个数和

　　线性筛约数和。离线处理约束条件。example：数表

欧拉函数

　　在线求欧拉函数。example：Longge的问题

　　一个公式。example：Robot

　　当$n>2$，$φ(n)$是偶数。example：上帝与集合的正确使用方法

置换

　　Burnside：对于一个置换$f$，若存在一个着色方案$s$经过置换后不变，称$s$为$f$的不动点，等价类数目为所有置换的不动点的平均值。example：Cards

　　Polya：假设可以有$k$种颜色，那么一个置换$f$的循环内的元素的颜色必须相同，等价类的数目为所有置换的$k^{循环个数}$的平均值。example：Let it bead

　　一个是对染色方案考虑，另一个是直接对置换考虑。

数论大合集

　　费马小定理优化矩阵乘法。example：矩阵游戏

　　Lucas，费马小定理，中国剩余定理。example：古代猪文

　　Lucas用的时候要注意特判$m=0$，同时组合数记得特判$n<m$。模数不是质数的Lucas，就用古代猪文中的方法，分解质因数然后CRT合并。

　　exgcd和CRT最好还是用LL运算，不然怎么挂的都不知道=。=

　　暴力容斥。example：跳蚤

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字符串

AC自动机

　　没啥好说的。。。板子题：阿狸的打字机

HASH

　　也没啥好说的。。板子题：火星人

KMP

　　还是没啥好说的。。可能会有奇技淫巧吧。板子题：动物园

manacher

　　我已经不记得了。板子题：不知名

trie

　　异或贪心相关。example：poj某题

　　trie树合并，跟线段树合并差不多。example：Alice和Bob又在玩游戏

后缀数组

　　基本的论文二分答案+按照height分组的思想。example：milk patterns

　　单调栈。example：CS

　　后缀自动机求后缀树组。example：板子题

　　双向链表。example：生成魔咒

　　分割点。example：mrs

后缀自动机

　　

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思想

CDQ分治

　　看起来很强但是很simple的一个玩意儿。

　　CDQ图分治。example：城市建设

　　CDQ上树+维护斜率优化dp。example：购票（这题出现频率真高=  =）

　　一道还不错的题。example：共点圆

　　四维偏序。example：偏序

倍增

　　没啥好说的，注意边界细节。

　　神题一道。example：会议中心

　　倍增优化dp，类似快速幂。example：序列统计

莫队算法

　　莫队还是挺灵活的，各种升级版本都有=  =。

　　树上莫队。example：糖果公园

　　在线莫队。其实就是预处理出来n个询问，然后每次读入的询问暴力移左右端点。example：坑

　　江队。只有插入或者删除的莫队。example：坑

　　总之在考场上应该也能YY出来吧，一定要注意常数啊，一个小小的细节可能就葬送AC=。=

平面图与对偶图

　　优化网络流。example：海拔

　　抠域和点定位。example：平面图（话说看这毒瘤题真的大丈夫？=  =）

整体二分

　　没啥好说的。example：接水果

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小技巧

　　差分求解区间gcd。example：魔幻棋盘

　　当答案是这种$ans=a/b$的形式，二分答案是个不错的选择。example：最小圈

　　二分$delta$。example：tree

　　两个熏肉贪心题。哈夫曼；example：荷马史诗。田忌赛马；example：泡泡堂BNB

　　图的hash（话说这真的叫hash吗，反正王队长这么说那我就跟风了=。=）。example：DZY loves Chinese

　　弦图。话说这玩意儿真的会考吗。example：神奇的国度

　　$O(1)$黑科技double快速乘。如果没记住还是龟速乘吧，写错一点都会GG。example：随机数生成器