B-概率论-贝叶斯决策

Posted 2021-03-25 nickchen121

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贝叶斯决策

一、贝叶斯决策理论

贝叶斯决策理论：在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计。

二、贝叶斯公式

2.1 从条件概率公式推导贝叶斯公式

若果$A$和$B$相互独立，则有$p(A,B) = p(A)p(B)$，并有条件概率公式

[ p(A|B) = {frac{p(A,B)}{p(B)}} \\ p(B|A) = {frac{p(A,B)}{p(A)}} \\]

通过条件概率可得

[ p(A,B) = p(B|A)p(A) p(A|B) = {frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}} quad ext{简写的贝叶斯公式} ]

(p(A|B))：后验概率，B发生的情况下发生A的概率，需要计算的概率

(p(B|A))：似然度，A假设条件成立的情况发生B的概率

(p(A))：A的先验概率，也可以理解成一般情况下A发生的概率

(p(B))：标准化常量，也可以理解成一般情况下B发生的概率

2.2 从全概率公式推导贝叶斯公式

全概率公式

[ p(B) = sum_{i=1}^n{p(B|A=A_i)p(A_i)} quad ext{其中}sum_{i=1}^n{p(A_i)=1} ]

通过全概率公式可得

[ p(A|B) = {frac{p(B|A)p(A)}{sum_{i=1}^n{p(B|A=A_i)p(A_i)}}} quad ext{完整的贝叶斯公式} ]

三、贝叶斯公式应用

在数字通信中，由于随机干扰，因此接受的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常需要计算各种概率。

如果发报机以0.6和0.4的概率发出信号0和1；

当发出信号0时，以0.7和0.2的概率收到信号0和1；

当发出信号1时，接收机以0.8和0.2收到信号1和0。

计算当接受机收到信号0时，发报机发出信号0的概率。

通过上述给出的数据可以得到以下推导

(p(A_0) = 0.6)：发报机发出信号0的概率

(p(A_1) = 0.4)：发报机发出信号1的概率

(p(B)=p(A_0)p(B|A_0) + p(A_1)p(B|A_1))：发报机接收到信号0的概率

(p(B|A_0) = 0.7)：发报机发出信号0接收到信号0的概率

(p(B|A_1) = 0.2)：发报机发出信号1接收到信号0的概率

[ egin{align} p(A_0|B) & = {frac{p(B|A_0)p(A_0)}{p(A_0)p(B|A_0) + p(A_1)p(B|A_1)}} & ={frac{0.6*0.7}{0.6*0.7 + 0.4*0.2}} & ={frac{0.42}{0.50}} & =0.84 end{align} ]