最长不下降子序列 nlogn && 输出序列

Posted 2020-11-16 handsome-zyc

最长不下降子序列实现：

       利用序列的单调性。

　　对于任意一个单调序列，如 1 2 3 4 5（是单增的），若这时向序列尾部增添一个数 x，我们只会在意 x 和 5 的大小，若 x>5，增添成功，反之则失败。由于普通代码是从头开始比较，而 x 和 1,2,3,4 的大小比较是没有用处的，这种操作只会造成时间的浪费，所以效率极低。对于单调序列，只需要记录每个序列的最后一个数，每增添一个数 x，直接比较 x 和末尾数的大小。只有最后一个数才是有用的，它表示该序列的最大限度值。

　　实现方法就是新开一个数组 d，用它来记录每个序列的末尾元素，以求最长不下降为例，d[k] 表示长度为k的不下降子序列的最小末尾元素。

　　我们用 len 表示当前凑出的最长序列长度，也就是当前 d 中的最后那个位置。

　　这样就很 easy 了，每读入一个数 x，如果 x 大于等于 d[len]，直接让 d[len+1]=x，然后 len++，相当于把 x 接到了最长的序列后面；

　　如果 x 小于 d[len]，说明 x 不能接到最长的序列后面，那就找 d[1...len−1] 中末尾数小于等于 x 的的序列，然后把 x 接到它后面。举个例子，若当前 x==7,len==8：

1	2	3	4	5	6	7	8
2	3	4	7	7	10	12	29

　　d[1]?d[5] 均小于等于 x，若在 d[1] 后接 x，则 d[2] 应换成 x，但 d[2]==3，比 x 小，能接更多的数，用 7 去换 3 显然是不划算的，所以 x 不能接 d[1] 后。同理，d[2]?d[4] 均不能接x。由于 d[5]≤x 且 x<d[6]，7 能比 10 接更多的数，所以选择在 d[5] 后接 x，用 x 替换 10。

　　根据这个操作过程，易知数组 d 一定是单调的序列，所以查找的时候可以用二分！二分效率是 logn 的，所以整个算法的效率就是 nlogn 的啦~

输出序列实现：

       想了好久，认为 nlogn 做法也是可以输出序列的，这时候需要增加一个 c 数组 用来记录每个元素在最长序列中的位置，即 c[i] 表示 a[i] 被放到了序列的第几个位置。

　　输出时，从 数组 a 的尾部开始，逆序依次找出 c 为 len, len-1, len-2 … 3, 2, 1 的元素，并且找到一个就接着寻找 c[i]-1，直到找到 c[i] 为 1 的数。

　　举个例子：

a:	13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
c:	1	1	2	3	4	4	5	4	6	5	6	7	8	3

　　len = 8;

　　我们从 15 开始倒着找 c 为 8 的元素，找到 63，接着找 c 为 7 的，找到 22，再找 c 为 6 的，找到 21，再找 c 为 5 …… 以此类推。

　　从而，我们得出的序列为 63，22，21，19，18，16，9，7

　　逆序输出来，就是 7，9，16，18，19，21，22，63

　　为什么这个方法是对的呢？倒序查找保证了两个条件：

　　　　- 如果 c 中有多个相同的数，后面的一定是最新更新的；

　　　　- 在保证一条件的前提下，倒序找，后面的数一定可以接到前面数的后面。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<stack>
 6 #define int long long
 7 #define maxn 1000+10
 8 using namespace std;
 9 inline int read() 
10 {
11     int x=0;
12     bool f=1;
13     char c=getchar();
14     for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c==‘-‘) f=0;
15     for(; isdigit(c); c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-‘0‘;
16     if(f) return x;
17     return 0-x;
18 }
19 inline void write(int x)
20 {
21     if(x<0){putchar(‘-‘);x=-x;}
22     if(x>9)write(x/10);
23     putchar(x%10+‘0‘);
24 }
25 int n,len;
26 int a[maxn],last[maxn],site[maxn];
27 stack<int> s;
28 signed main()
29 {
30     n=read();
31     for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
32     if(n==0) 
33     {
34         write(0);
35         return 0;
36     }
37     len=1;
38     last[1]=a[1];
39     site[1]=1;
40     for(int i=2;i<=n;i++)
41     {
42         if(a[i]>=last[len]) 
43         {
44             last[++len]=a[i];
45             site[i]=len;
46         }
47         else 
48         {
49             int now=lower_bound(last+1,last+len+1,a[i])-last;
50             last[now]=a[i];
51             site[i]=now;
52         }
53     }
54     printf("max=");
55     write(len);
56     printf("
");
57     for(int i=n,j=len;i>=1;i--)
58     {
59         if(site[i]==j) 
60         {
61             s.push(a[i]);
62             j--;
63         }
64         if(j==0) break;
65     }
66     while(!s.empty())
67     {
68         int put=s.top();
69         s.pop();
70         write(put);
71         printf(" ");
72     }
73     return 0;
74 }

请各位大佬斧正（反正我不认识斧正是什么意思）