排队 矩阵快速幂优化dp

Posted 2021-03-25 yzxx

(T1) 排队

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Description

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抢饭是高中生活的一部分，现在有一列队伍长度为 (n)，(注意：由于人与人之间要保持距离，且不同情况所保持的距离大小不同，所以长度并不能直接体现队列的人数)。已知男男之间的距离为 (a)，男女之间距离为 bb，女女之间距离为 (c)。一个男生打饭时间为 (d)，一个女生打饭时间为 (e)，求所有情况的排队时间总和（忽略身体的大小对队伍长度的贡献），答案对 $10^{9}+7 $取模。

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Input Format

一行六个整数 (n), (a), (b), (c), (d), (e)。

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Output

一行一个整数，即答案。

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Solution

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首先我们很容易想到一个DP做法，这里我们构造 (f) ([i][0/1])数组，表示最后一个人是0/1的情况下，最后一个人打到饭的时间之和，0表示最后一个人是男生，1是女生。

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定义g([i][0/1])表示最后一个人是 的情况下的总方案数。手推得状态转移方程：

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但我们会发现(n)非常的大，但是(a),(b),(c),却很小，因此每次转移时所需要的(i-a),(i-b),(i-c)非常靠近 ，因此可以考虑使用滚动数组转移。

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但滚动数组并没有对时间上做出优化。

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这里的转移我们用矩阵乘法来代替，只需构造一个(4*max(a,b,c))阶的转移矩阵即可。

下面我们来详细说一说这个矩阵的构造！！

首先看到(g)数组对(f)数组的转移造成了影响，所以我们在矩阵中不仅只转移(f)，还必须加入(g)的转移。

按照常理，构造出的初始矩阵长这样：

但考虑到 (f) ([i][0/1])和g([i][0/1])这四个必须一起转移的东东，所以每个(i)要维护四个值，所以在每一个块中维护四个值，所以变成了：

好了，这样就可以解释为什么是(4*max(a,b,c))阶了, 阶就是矩阵长宽的意思啦

然后的矩阵构造就为了一个目标：

这个的意思就是从(r)推出(r+1)，然后对着这个和上面的dp转移方程构造一个转移矩阵就好了.

形如：

构造完成后就将转移矩阵快速幂，快速得到最后的答案 (f[n][0])+(f[n][1])

细节：代码实现时因为是每四个当成一块，所以我们用 (<<2)（等价于乘4）也可以迅速得到每个i对应矩阵中的位置，每一块中的选择则用 |（或操作=加操作）来处理，使代码简洁。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 150
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll n;
int a,b,c,d,e,O;
int g[N][2],f[N][2];// f[i][0/1]表示长度为i的队伍最后为男生(0)或女生(1)的答案  g[i][1/0]与f一样，不过是记录到达这个状态的方案数 
struct Matrix{
    int a[N][N];
    Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
}T,qs,asd;//T为转移矩阵 qs为初始矩阵 
void mul(Matrix &CC,Matrix A,Matrix B)
{
    Matrix C;
    int i,j; 
    for(i=0;i<O;i++)
       for(j=0;j<O;j++)
          C.a[i][j]=0;
          
    for(i=0;i<O;i++)   //两个矩阵的相乘 
    for(j=0;j<O;j++)
    if(A.a[i][j])
    {
        for(int k=0;k<O;k++)
           if(B.a[j][k])
            C.a[i][k]=(1ll*A.a[i][j]*B.a[j][k]+C.a[i][k])%mod;
    }
    CC=C;
}
void Ksm(Matrix &CC,Matrix AA,ll t)  //标准快速幂 
{
    Matrix A,C;
    t--;
    A=C=AA;
    while(t)
    {
        if(t&1)
        {
            mul(C,C,A);
        }
        mul(A,A,A);
        t>>=1;
    }
    CC=C;
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&e);
    g[0][0]=g[0][1]=1;  //初始化 
    f[0][0]=d,f[0][1]=e;   //初始化
    int o=max(a,max(b,c)); //转移所需的最小的矩阵 
    O=o<<2;//矩阵长宽
    for(i=1;i<o;i++)// 初始化第一个矩阵 
    {
        if(i>=a) (f[i][0]+=f[i-a][0])%mod,(g[i][0]+=g[i-a][0])%mod;
        if(i>=b) (f[i][0]+=f[i-b][1])%mod,(g[i][0]+=g[i-b][1])%mod,(f[i][1]+=f[i-b][0])%mod,(g[i][1]+=g[i-b][0])%mod;
        if(i>=c) (f[i][1]+=f[i-c][1])%mod,(g[i][1]+=g[i-c][1])%mod;
        f[i][0]=(1ll*g[i][0]*d+f[i][0])%mod;
        f[i][1]=(1ll*g[i][1]*e+f[i][1])%mod;
    } 
    //下面开始把我们构造的转移矩阵完善一下 
    for(i=1;i<o;i++)
    {
        for(j=0;j<4;j++)
        T.a[i<<2|j][(i-1)<<2|j]=1; //把矩阵中的1全填了再说 
    }
    T.a[(o-b)<<2][(o-1)<<2|1] = T.a[(o-b)<<2|2][(o-1)<<2|3] = T.a[(o-b)<<2|1][(o-1)<<2] = T.a[(o-b)<<2|3][(o-1)<<2|2] = 1; //把公式中的全部i-b的影响填上1 
    T.a[(o-b)<<2|2][(o-1)<<2|1] = e; T.a[(o-b)<<2|3][(o-1)<<2] = d; //把e和d填上
     //后面也在一个一个填数 
     ++T.a[(o-a)<<2][(o-1)<<2]; ++T.a[(o-a)<<2|2][(o-1)<<2|2];  
     (T.a[(o-a)<<2|2][(o-1)<<2]+=d)%mod;
     ++T.a[(o-c)<<2|1][(o-1)<<2|1]; ++T.a[(o-c)<<2|3][(o-1)<<2|3];
     (T.a[(o-c)<<2|3][(o-1)<<2|1]+=e)%mod;
     
     for(i=0;i<o;i++)  //把之前求出的初始f付给这个初始矩阵 
     {
        qs.a[0][i<<2] = f[i][0];
        qs.a[0][i<<2|1] = f[i][1];
        qs.a[0][i<<2|2] = g[i][0];
        qs.a[0][i<<2|3] = g[i][1];
     } 
     Ksm(T,T,n-o+1); mul(qs,qs,T);  //快速转移 
     printf("%d
",(qs.a[0][(o-1)<<2]+qs.a[0][(o-1)<<2|1])%mod);  //取最后的答案 
    return 0;
}