数论训练之四

Posted 2020-11-16 wzxbeliever

https://www.luogu.org/problem/P3978

题目描述：

对于一棵随机生成的n个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢?

不同构的二叉树数目显然是卡特兰数（因为这题目描述的不同构节点标号也要不同）

节点数期望是等于（各种情况的节点数）/(不同构二叉树数目)

那怎么算各种情况的节点数之和呢？有点技巧了

考虑n-1个点现在还没连边

此时第n个点就有2(n-1)个位置可以插入

又因为实际上他们是连了n-2条边的，所以实际上只有n个位置可以插入

又因为可以不同构，所以有n*卡特兰数(n-1)

code by jklover：

//%std
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int out=0,fh=1;
    char jp=getchar();
    while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
        jp=getchar();
    if (jp=='-')
        fh=-1,jp=getchar();
    while (jp>='0'&&jp<='9')
        out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
    return out*fh;
}
int main()
{
    double n=(double)read();
    double ans=n*(n+1)/2/(2*n-1);
    printf("%.9lf
",ans);
    return 0;
}