数论——置换

Posted 2020-12-27 dukelv

今天学习了一下上次集训讲的置换，当时没懂，这个东西确实难理解。。。我看了《算法竞赛入门经典训练指南》，才勉强明白一点基础。。。

学习置换之前先要理解群论：

给定一个集合G={a,b,c…}和集合G上的一个二元计算*，满足以下四个条件：
（1）封闭性
若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;
（2）结合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)* c=a* (b*c);
（3）单位元存在
存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;
（4）逆元存在
任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.

通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.
若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

 了解群论之后才进行初步置换。

先举个例子：

表示1被1到n中的某一个数a1取代，2被1到n中的某一个数a2取代，直到n被1到n中的某一个数an取代，且a1到an各不相同 置换群
置换群的元素是置换，运算的置换的连接

还可以进行拆分：

其实就是几个元素进行轮换。

例题：

等价类计数问题
有这样一个经典问题，给2*2方格中涂黑白两色，有几种方案
Ans.16

但是如果定义一种“旋转操作”，规定逆时针旋转90°，180°，270°后相同的方案算作一种，
那么答案就变成6种了

 这类问题被称作是等价类计数问题
也就是说，题目中会定义一种等价关系，满足等价关系的元素被看做是同一类

对于一个置换f，若一个方案经过置换后不变，称s为f的不动点
将f的不动点的数目记为C(f)，则有
       Burnside 定理
等价类数目为所有C(f)的平均值

 

例如在本题中，
“逆时针旋转180°”的不动点：

“逆时针旋转90°”的不动点：

“逆时针旋转270°”的不动点：

“逆时针旋转0°”的不动点：

根据Burnside引理，答案是（16+2+2+4）/4=6