poj 2888 Magic Bracelet

Posted 2021-02-01 miracevin

http://poj.org/problem?id=2888

POJ2888——Pólya思想+数论+动规+矩阵快速幂(经典)

置换问题的关键在于降低枚举置换的复杂度和找不动点的复杂度。

和基础的置换不同在于每个环内部不能无脑填相同的颜色了。

但是枚举环还是基本思路一定是要枚举的。

考虑降低枚举置换的复杂度：

环只和gcd有关，枚举gcd一起统计。

把上面的换成下面的。枚举gcd

由于根号的分解不是满的，所以复杂度会降低。

 

 对于每个置换的不动点个数：
即每隔i个都相等。

所以直接分成i条，然后矩阵快速幂优化dp即可。

转移矩阵的i次幂算出来，

再枚举第一个填j颜色，对应乘起来就是整个第j行的值，选择不会和最后一个冲突的值加起来即可。

O(10^3logn*sqrt(n))

可以过。

 

启示我们，不动点的个数不一定要按照环来统计

也可以每i个看成一个段来统计

置换相同的一起枚举。考虑环，不动点在条件下进行计算。