01背包思想和优化

Posted 2021-03-24 kekekuli

dp入门问题:01背包装下了我们的忧伤QWQ

　　作为一枚乐于作死...呸，乐于学习的蒟蒻，当然要学会装包的

那么简单的描述一下01背包问题:

　　小明有个bag,容量是m.小明面前有n个物品，每个物品有它的价值vi和它的体积wi,小明想知道用这个背包能装到的物品总价值最大是多少.

好，这就是一个最朴素的01背包问题,那么怎么解决呢.

稍加思索...dp嘛，从小问题解决到大问题.我们用一个数组dp[i][j]表示选第i件物品时容量为j可以得到的最大价值。

状态转移方程就出来啦:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+[v[i]]);

其实01背包过程就是选与不选第i件物品,dp[i-1][j]实则就是不选第i件物品，dp[i-1][j-w[i]]+v[i]就是选了第i件物品，既然我们选了，那就要减掉它的wi再加上它的价值vi。然后在两者之间选最优方案就完美解决了

总的来说:01背包就是靠着第i-1的状态更新第i的状态

上代码：

 

 

再次开启脑洞：我们发现更新第i件物品的时候只需要用到第i-1的状态，之前的状态都可以抛弃，这样我们就可以抛弃i这个维度，只用一个维度保存j,这样做的的话，代码就变成了这样

 

 

注意这必须是逆序遍历，至于为什么呢？上面已经说过，01背包就是靠着第i-1的状态更新第i的状态，如果顺序遍历的话，第i状态的数据会覆盖掉第i-1状态的某一些数据，而这些被覆盖的数据保不准还有用于更新接下来的第i状态的，我们是要i-1更新i状态的，如果原i-1已经被覆盖成第i状态了，那么接下来就是用i状态更新i状态，显然是不符合定义的，而逆序遍历可以保证后面的数据先被更新成第i状态，前面的数据还是第i-1状态，那么用前面的数据(i-1状态)就可以保证不会出错

 

ps:这里可能有点绕，或许会不好理解，本来博主想用张动图解释解释的，奈何博主不会做动图QWQ,哪讲错了欢迎大家拍砖