01背包和动态规划

Posted 2020-08-26 zcsor

　　做了一段时间ＮＯＩ，做到动态规划看了几天算法书籍。还是没有深入，学了基本的动态规划，稍有一点体会，记录到这里。

　　背包是这样一类问题：在限定总质量前提下，从若干质量＼价格对中，取哪些能使得价格最大。

　　动态规划是一种思想，简单的说，动态规划思想就是充分利用对子问题的计算结果来递推父问题结果。所以，动态规划具有较高的效率，省去了一些不必要的计算。这里主要关心表和递推关系，其实这两者是同一个东西，根据记录表来推得父问题的解，找到递推关系要依赖表记录子问题的解。不同的问题有不同的构建方式，所以我个人觉得，初学时没有必要看了理论然后直接去写代码，可以看一下其他人是如何写的代码。边调试代码边理解思路效率更高，但这还不是自己的东西，需要一定的练习。动态规划是一种思想，但解决不同类型（特点）的问题时有不同的突破口，这也导致即使都用动态规划不同问题的解决代码差异也较大，同样道理，相同类型的问题代码的框架结构是一样的，掌握一类问题的分析方法和编码框架都是必要的，两者相辅相成，就像我们要输出一个数组的全部元素，大家都会马上拿来for while这样的语句来用。

　　现在来看背包问题是怎么利用记录表来高效解决问题的，这里有一组范例数据：

4 7
1 2
3 1
5 10
4 11

其中，第一行是质量＼价格对个数和允许最大质量，记为n=4,w=7。后续4行前面是质量，后面是价格，可以用两个数组记录也可以用结构。显而易见，选择物品1和4可以达到价值13（质量5）。现在来看一下解决这个问题的记录表：

m w  oid 0  1  2  3  4  5  6  7
      0  0  0  0  0  0  0  0  0
1  2  1  0  2  2  2  2  2  2  2
3  1  2  0  2  2  2  3  3  3  3
5 10  3  0  2  2  2  3 10 12 12
4 11  4  0  2  2  2 11 13 13 13

表是从左到右填写完一行再从左到右填写下一行。其中绿色的行是选择物品的范围最大下标oid（如oid=2表示从编号为1、2的两个物品中选择）；而红色的行是当前允许最大质量curw——这就是动态规划解决背包问题的思路，从0容量背包开始，让后是1一直递推到最大背包容量；表内数据部分就是记录值——table[oid][curw]记录了在前oid个物品中取若干个装入curw大小的背包能装入的最大价值。所以，无论01背包、完全背包、部分背包或同类问题用动态规划都是一个代码框架（尤其是01和完全，代码就差2点点）。现在我们思考这样几个问题：

1、背包问题对于任何一个物品来讲，只有两种状态：取、不取。那么，这两种状态的编码怎么写？

其实这个问题相对比较简单，只要当前背包质量不达到当前物品质量，那就无需装入；达到了就尝试装入，即：

            if(curw<wArr[oid]){
              //不装入
            }else{
　　　　　　　　//尝试装入
            }

2、如何尝试装入？

　　还记得上面所说的curw大小的背包能装入的最大价值吗？这两者也是同一个问题，为了保证curw保存最大价值，我们需要尝试把当前物品放入背包。那么如何得到放入背包之前的最大价值呢？table[oid][curw-wArr[oid]]就是了，因为我们已经记录了从0到curw的任何一个质量的最大价值（这也是从curw从0遍历到maxw的原因，也是优化的突破口），所以这个值就是没有放入当前物品时的最大价值，不要担心curw-wArr[oid]的大小，这里curw-wArr[oid]>=0。好了，现在计算物品放入背包之后的价值：table[oid][curw-wArr[oid]]+vArr[oid]。这是一种尝试，通过尝试放入当前物品，我们知道放入之后的最大价值，但是这个价值不一定比不放的时候大——记得我们拿出去了“一部分物品”吗？回顾一下我怎么知道没有放入物品时的最大价值，它导致我们失去了一些物品，当然也可能没有失去。所以，现在我们需要在放入这个物品之后的价值table[oid][curw-wArr[oid]]+vArr[oid]和不尝试放入这个物品时的最大价值table[oid][curw]中找到最大的那个。那么把代码放在下面更便于浏览：

int dp()
{
    for(int oid=0;oid<n;oid++)
    {
        for(int curw=0;curw<=w;curw++)
        {
            if(curw<wArr[oid]){
                table[oid+1][curw]=table[oid][curw];
            }else{
                table[oid+1][curw]=max(table[oid][curw],table[oid][curw-wArr[oid]]+vArr[oid]);
            }
            printf("% 2d ",table[oid+1][curw]);
        }
        cout<<endl;
    }
    return table[n][w];
}

　　根据上面的分析，显然需要从０容量背包开始递推，而取物品时会用到不取任何物品时的值（“拿走一部分那里”），所以内外循环这里都从０开始。当然，如果你修改代码不使用oid+1而直接使用oid，将会有一些不同。但无论如何，用于递推的基础数据——table表的一部分都需要初始化：

for(i=0;i<=n;i++) table[0][i]=0;

 

完整代码如下：

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  

int n,w;  
int wArr[100]={0};  
int vArr[100]={0};  
int table[100][100];  

int dp()
{
    for(int oid=0;oid<n;oid++)
    {
        for(int curw=0;curw<=w;curw++)
        {
            if(curw<wArr[oid]){
                table[oid+1][curw]=table[oid][curw];
            }else{
                table[oid+1][curw]=max(table[oid][curw],table[oid][curw-wArr[oid]]+vArr[oid]);
            }
            printf("% 2d ",table[oid+1][curw]);
        }
        cout<<endl;
    }
    return table[n][w];
}

int main()
{
    int i;
    cin>>n>>w;
    for(i=0;i<=n;i++) table[0][i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) cin>>wArr[i]>>vArr[i];
    cout<<dp(); 
}