01背包和动态规划

Posted zcsor

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了01背包和动态规划相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  做了一段时间NOI,做到动态规划看了几天算法书籍。还是没有深入,学了基本的动态规划,稍有一点体会,记录到这里。

  背包是这样一类问题:在限定总质量前提下,从若干质量\价格对中,取哪些能使得价格最大。

  动态规划是一种思想,简单的说,动态规划思想就是充分利用对子问题的计算结果来递推父问题结果。所以,动态规划具有较高的效率,省去了一些不必要的计算。这里主要关心表和递推关系,其实这两者是同一个东西,根据记录表来推得父问题的解,找到递推关系要依赖表记录子问题的解。不同的问题有不同的构建方式,所以我个人觉得,初学时没有必要看了理论然后直接去写代码,可以看一下其他人是如何写的代码。边调试代码边理解思路效率更高,但这还不是自己的东西,需要一定的练习。动态规划是一种思想,但解决不同类型(特点)的问题时有不同的突破口,这也导致即使都用动态规划不同问题的解决代码差异也较大,同样道理,相同类型的问题代码的框架结构是一样的,掌握一类问题的分析方法和编码框架都是必要的,两者相辅相成,就像我们要输出一个数组的全部元素,大家都会马上拿来for while这样的语句来用。

  现在来看背包问题是怎么利用记录表来高效解决问题的,这里有一组范例数据:

4 7
1 2
3 1
5 10
4 11

其中,第一行是质量\价格对个数和允许最大质量,记为n=4,w=7。后续4行前面是质量,后面是价格,可以用两个数组记录也可以用结构。显而易见,选择物品1和4可以达到价值13(质量5)。现在来看一下解决这个问题的记录表:

m w  oid 0  1  2  3  4  5  6  7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 0 2 2 2 3 3 3 3 5 10 3 0 2 2 2 3 10 12 12 4 11 4 0 2 2 2 11 13 13 13

表是从左到右填写完一行再从左到右填写下一行。其中绿色的行是选择物品的范围最大下标oid(如oid=2表示从编号为1、2的两个物品中选择);而红色的行是当前允许最大质量curw——这就是动态规划解决背包问题的思路,从0容量背包开始,让后是1一直递推到最大背包容量;表内数据部分就是记录值——table[oid][curw]记录了在前oid个物品中取若干个装入curw大小的背包能装入的最大价值。所以,无论01背包、完全背包、部分背包或同类问题用动态规划都是一个代码框架(尤其是01和完全,代码就差2点点)。现在我们思考这样几个问题:

1、背包问题对于任何一个物品来讲,只有两种状态:取、不取。那么,这两种状态的编码怎么写?

其实这个问题相对比较简单,只要当前背包质量不达到当前物品质量,那就无需装入;达到了就尝试装入,即:

            if(curw<wArr[oid]){
              //不装入
            }else{
        //尝试装入
            }

2、如何尝试装入?

  还记得上面所说的curw大小的背包能装入的最大价值吗?这两者也是同一个问题,为了保证curw保存最大价值,我们需要尝试把当前物品放入背包。那么如何得到放入背包之前的最大价值呢?table[oid][curw-wArr[oid]]就是了,因为我们已经记录了从0到curw的任何一个质量的最大价值(这也是从curw从0遍历到maxw的原因,也是优化的突破口),所以这个值就是没有放入当前物品时的最大价值,不要担心curw-wArr[oid]的大小,这里curw-wArr[oid]>=0。好了,现在计算物品放入背包之后的价值:table[oid][curw-wArr[oid]]+vArr[oid]。这是一种尝试,通过尝试放入当前物品,我们知道放入之后的最大价值,但是这个价值不一定比不放的时候大——记得我们拿出去了“一部分物品”吗?回顾一下我怎么知道没有放入物品时的最大价值,它导致我们失去了一些物品,当然也可能没有失去。所以,现在我们需要在放入这个物品之后的价值table[oid][curw-wArr[oid]]+vArr[oid]和不尝试放入这个物品时的最大价值table[oid][curw]中找到最大的那个。那么把代码放在下面更便于浏览:

int dp()
{
    for(int oid=0;oid<n;oid++)
    {
        for(int curw=0;curw<=w;curw++)
        {
            if(curw<wArr[oid]){
                table[oid+1][curw]=table[oid][curw];
            }else{
                table[oid+1][curw]=max(table[oid][curw],table[oid][curw-wArr[oid]]+vArr[oid]);
            }
            printf("% 2d ",table[oid+1][curw]);
        }
        cout<<endl;
    }
    return table[n][w];
}

  根据上面的分析,显然需要从0容量背包开始递推,而取物品时会用到不取任何物品时的值(“拿走一部分那里”),所以内外循环这里都从0开始。当然,如果你修改代码不使用oid+1而直接使用oid,将会有一些不同。但无论如何,用于递推的基础数据——table表的一部分都需要初始化:

for(i=0;i<=n;i++) table[0][i]=0;

 

完整代码如下:

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  

int n,w;  
int wArr[100]={0};  
int vArr[100]={0};  
int table[100][100];  

int dp()
{
    for(int oid=0;oid<n;oid++)
    {
        for(int curw=0;curw<=w;curw++)
        {
            if(curw<wArr[oid]){
                table[oid+1][curw]=table[oid][curw];
            }else{
                table[oid+1][curw]=max(table[oid][curw],table[oid][curw-wArr[oid]]+vArr[oid]);
            }
            printf("% 2d ",table[oid+1][curw]);
        }
        cout<<endl;
    }
    return table[n][w];
}

int main()
{
    int i;
    cin>>n>>w;
    for(i=0;i<=n;i++) table[0][i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) cin>>wArr[i]>>vArr[i];
    cout<<dp(); 
}

 

以上是关于01背包和动态规划的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

动态规划问题3--多重背包

动态规划-第二节:动态规划之背包类型问题

分别用回溯法和动态规划求0/1背包问题(C语言代码)

动态规划经典题目之01背包问题

动态规划中的0-1背包问题怎么去理解?要求给出具体实例和详细步骤。。。

动态规划 -- 01背包问题和完全背包问题