[ZJOI2010]排列计数

Posted 2020-11-16 chtholly

题意

求1~n的全排列(P_i)的个数，满足对于(igeq 2)，有(P_i > P_{i/2})

思路

随手画个图就可以发现问题是求大小为(n)的小根堆的个数

由于左右子树互不影响，直接DP即可，设(dp_{i})表示以(i)为根的小根堆的个数，有(dp_i = dp_{i*2} * dp_{i*2+1} * C(size_i - 1 , size_{i*2}))

注意本题模数可能小于(n)，所以要用(Lucas)定理求组合数

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 2000005
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,size[N];
ll mod;
ll jc[N],inv[N],dp[N];
ll quickpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
void init()
{
    jc[0]=1;
    int t=Min(n,mod-1);
    for(int i=1;i<=t;++i) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    inv[t]=quickpow(jc[t],mod-2);
    for(int i=t-1;i>=0;--i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(int n,int m) {return n>=m ? jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod : 0;}
ll lucas(int n,int m)
{
    if(!m) return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
void DFS(int rt)
{
    if(rt>n) return;
    size[rt]=1;
    DFS(rt<<1); DFS(rt<<1|1);
    size[rt]+=size[rt<<1]+size[rt<<1|1];
}
void dfs(int rt)
{
    if(rt>n) return (void)(dp[rt]=1);
    dfs(rt<<1); dfs(rt<<1|1);
    dp[rt]=lucas(size[rt]-1,size[rt<<1])*dp[rt<<1]%mod*dp[rt<<1|1]%mod;
}

int main()
{
    cin>>n>>mod;
    init();
    DFS(1);
    dfs(1);
    cout<<dp[1]<<endl;
    return 0;
}