[ZJOI2010]排列计数 (组合计数/dp)
Posted real-l
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[ZJOI2010]排列计数 (组合计数/dp)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
[ZJOI2010]排列计数
题目描述
称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的,当且仅当2<=i<=N时,Pi>Pi/2. 计算1,2,...N的排列中有多少是Magic的,答案可能很大,只能输出模P以后的值
输入输出格式
输入格式:
输入文件的第一行包含两个整数 n和p,含义如上所述。
输出格式:
输出文件中仅包含一个整数,表示计算1,2,?, 的排列中, Magic排列的个数模 p的值。
输入输出样例
输入样例#1:
20 23
输出样例#1:
16
说明
100%的数据中,(1 ≤N ≤ 10^6, P≤ 10^9),p是一个质数。
Solution
组合计数+dp ... 没想到啊...
因为这道题标签有数位dp...exm?
好了回到这道题,看到题目中关键的一个式子
[p_i>p_{i/2}]
有没有想到线段树中子节点与父节点编号的关系,其实这就是一个小根堆的限制,我们要找出所有的小根堆的个数
可以(dp)求出来,对于一个节点i,包括它自己有(size)个节点,那么我们考虑除它自己以外(size-1)个节点中有(l)个节点可以作为左子树,剩下的作为右子树
[dp[i]=C_{size[i]-1}^{size[l]} imes dp[l] imes dp[r]]
至于(size[l]怎么求?模拟dfs自下而上更新就好)
然后,由于模数p可能<n(可能出现n%p==0,那就求不出逆元),所以要用lucas求
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
#define lol long long
#define ll(x) (x<<1)
#define rr(x) (x<<1|1)
#define in(i) (i=read())
using namespace std;
const int N=1e6+10;
lol read() {
lol ans=0,f=1; char i=getchar();
while(i<'0' || i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
while(i>='0' && i<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+i-'0',i=getchar();
return ans*=f;
}
lol n,mod;
lol sum[N]={1},inv[N]={1},dp[N],size[N<<1];
lol qpow(lol a,lol x,lol ans=1) {
while(x) {
if(x&1) ans=ans*a%mod;
x>>=1,a=a*a%mod;
}return ans;
}
void init() {
for(lol i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]*i%mod;
for(lol i=1;i<=n;i++) inv[i]=qpow(sum[i],mod-2);
}
lol C(lol n,lol m) {
if(m>n) return 0;
return sum[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
lol Lucas(lol n,lol m) {
if(!m) return 1;
return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
int main()
{
in(n),in(mod); init();
for(int i=n;i>=1;i--) {
size[i]=size[ll(i)]+size[rr(i)]+1;
dp[i]=Lucas(size[i]-1,size[ll(i)])*(ll(i)>n?1:dp[ll(i)])%mod*(rr(i)>n?1:dp[rr(i)])%mod;
}
cout<<dp[1]<<endl;
}
以上是关于[ZJOI2010]排列计数 (组合计数/dp)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
bzoj 2111 [ZJOI2010]Perm 排列计数(DP+lucas定理)
bzoj 2111: [ZJOI2010]Perm 排列计数 (dp+卢卡斯定理)