10.4图的连通性(Connectivity)

Posted 2021-03-18 spicyarticle

10.4图的连通性(Connectivity)

如果存在一条路径，使得从u到v，那么顶点u和v就是连通的

1. 如果能存在一条路径从u到u，那么这样的路径称为自环(circuit)
   
2. 路径可以视作穿过点(through the vertices)，也可视为遍历边(traverses the edges)
   
3. 如果这条路径穿过的边都是一次的(无重复穿过同一条边)，那么我们称其为简单路径

图连通

针对于无向图而言，如果任意两个顶点都能够连通，那么称这个图为连通图

定理:

1. 无向连通图的每对顶点都存在简单路径(simple path)
   
2. 无向图G的连通分量是指G的最大连通子图
   
3. 割点(cut vertex)或割边(cut edge)能将连通图分为两部分

点连通(Vertex Connectivity)

1. 不可分割图(Nonseparable graphs)

   无割点的图称为不可分割图

2. 点割集

   去掉点割集V‘后，使得连通图G变为G-V’不再连通

3. 点连通性(Vertex connectivity)

   非完全图G的点连通性，指的是存在的点割集的顶点最小数；记为??(G);通俗的说，就是最少去掉多少个点使得G不再是连通图

边连通(Edge Connectivity)

1. 边割集

   去掉边割集E‘后，使得连通图G变为G-E’不再连通

2. 边连通性(Edge connectivity)

   非完全图G的边连通性，指的是存在的边割集的边的最小数；记为??(G);通俗的说，就是最少去掉多少条边使得G不再是连通图

有向图的连通性

有向图中，路径只能沿着箭头出发
强连通(strongly connected):a和b强连通，指存在路径从a连通到b，也存在路径从b到a
弱连通(weakly connected):a和b弱连通，指存在路径从a连通到b或存在路径从b到a(强连通必定弱连通)

NOTE:连通性以及路径都是图同构中的同构不变量
NOTE:用tarjan算法求有向图的强连通分量极其有效

通过邻接矩阵计算路径数

如果A是图G的邻接矩阵，那么((A^k)_{i,j})表示(v_i)到(v_j)的路径为k的数目(1的数目)

NOTE:注意这里求路径为k和之前沃舍尔算法求连通性的区别